Rotationskörper um x-Achse zwischen zwei Funktionen: Erklärung der Formel

01.02.2009, 12:26

Romensch_2

Rotationskörper um x-Achse zwischen zwei Funktionen: Erklärung der Formel

Hallo!

Ich hab eine Frage zu der Berechnung von Rotationskörpern zwischen zwei Funktionen.

Die Formel Lautet ja:

V= $\begin{eqnarray*} \pi\int_{a}^{b}~((u(x))^2-(v(x))^2)~dx \end{eqnarray*}$

Das kann ich mir auch anschaulich vorstellen: Man berechnet den äußeren Körper, zieht den inneren ab und hat so das Volumen des Hohlkörpers.

Dass die Formel hier mathematisch nicht das gleiche ist und somit auch eine der Formeln falsch sein muss ist mir klar:
V= $\begin{eqnarray*} \pi\int_{a}^{b}~((u(x)-v(x))^2)~dx \end{eqnarray*}$

Aber wieso gilt diese nicht? Man würde doch erst die Fläche zwischen den Funktionen ausrechnen und diese dann rotieren lassen. Ich kann mir noch nicht anschaulich vorstellen wieso die erste Formel die richtige ist und die zweite falsch ist.

Wäre toll, wenn mir das jemand erklären könnte. Ich hasse es wenn es in Mathe heißt: "Das ist eben so.".

Edit (mY+): Das Zeichen ² wird in LaTeX NICHT aufgelöst. Ersetzt durch ^2

01.02.2009, 13:32

mYthos

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Die Erklärung ist ganz einfach: Die Differenzfunktion beschreibt etwas anderes als den zwischen ihnen eingeschlossenen Flächenabschnitt.

Damit ergibt sich ein von dem Hohlkörper verschiedener Rotationskörper, wenn du die Differenzfunktion rotieren lässt.

So ist das eben Big Laugh

mY+

01.02.2009, 13:54

Romensch_2

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Das verstehe ich nicht.

Ich dachte die Differenzfunktion $\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~(f(x)-g(x))~dx \end{eqnarray*}$ beschreibt die Fläche zwischen f(x) und g(x).

01.02.2009, 14:26

mYthos

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Nein, das tut die Differenzfunktion selbst eben nicht, sondern erst das Integral derselben.

Zwei Funktionen, f(x), g(x) getrennt:

Differenzfunktion f(x) - g(x):

Und - noch ohne Integral - ist dabei ja auch immer klar, dass

$\begin{eqnarray*} f^2(x) - g^2(x) \neq (f(x) - g(x))^2 \end{eqnarray*}$

mY+

01.02.2009, 14:55

Romensch_2

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Ahso. Vielen Dank für die anschauliche Erklärung, das hab ich jetzt verstanden.

Würde die Formel $\begin{eqnarray*} \pi\int_{a}^{b}~(\int_{a}^{b}~((f(x)-g(x))~dx)^2~dx \end{eqnarray*}$ dann Sinn machen?

Edit (mY+): LaTeX berichtigt.

01.02.2009, 15:24

Romensch_2

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Hmm, ich frag mich aber immernoch was:

Wenn man $\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~f(x)^2~dx \end{eqnarray*}$ hat darf man das ja nicht als $\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~f(x)~dx\cdot\int_{a}^{b}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$ schreiben?

Sonst würde ja gelten:
V= $\begin{eqnarray*} \pi\cdot\int_{a}^{b}~f(x)~dx\cdot\int_{a}^{b}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$ die rotierende Fläche wäre.

Bei Rotationskörpern zwischen zwei Funktionen ist die rotierende Fläche ja wie gesagt das Integral der Differenzfunktion:

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~(f(x)-g(x))~dx \end{eqnarray*}$

Dann hätte man ja

V = $\begin{eqnarray*} \pi\cdot\int_{a}^{b}~(f(x)-g(x))~dx\cdot\int_{a}^{b}~(f(x)-g(x))~dx \end{eqnarray*}$

und somit

V = $\begin{eqnarray*} \pi\cdot\int_{a}^{b}~(f(x)-g(x))^2~dx \end{eqnarray*}$

D.h. $\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~f(x)~dx\cdot\int_{a}^{b}~f(x)~dx \neq \int_{a}^{b}~f(x)~dx\cdot\int_{a}^{b}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$ ist der springende Punkt?

Edit (mY+): LaTeX berichtigt.

01.02.2009, 16:30

mYthos

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Zitat:

Original von Romensch_2
...
Wenn man $\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~f(x)^2~dx \end{eqnarray*}$ hat darf man das ja nicht als $\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~f(x)~dx\cdot\int_{a}^{b}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$ schreiben?
...

Nein, natürlich nicht.

Zitat:

...
Bei Rotationskörpern zwischen zwei Funktionen ist die rotierende Fläche ja wie gesagt das Integral der Differenzfunktion:

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~(f(x)-g(x))~dx \end{eqnarray*}$

Dann hätte man ja

V = $\begin{eqnarray*} \pi\cdot\int_{a}^{b}~(f(x)-g(x))~dx\cdot\int_{a}^{b}~(f(x)-g(x))~dx \end{eqnarray*}$
...

Nein, das ist unrichtig. Bei um eine Achse rotierenden Flächen ist das Volumen des dabei entstehenden Rotationskörpers gleich der erzeugenden Fläche mal dem Weg deren Schwerpunktes (Kreisumfang eines Kreises, dessen Radius gleich dem Abstand von der Drehachse ist), dies heisst auch 2. Guldin'sche Regel.

mY+

01.02.2009, 17:09

Romensch_2

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Ok den letzten Satz hab ich jetzt nicht genau verstanden (Weg des Schwerpunktes), aber das wesentliche hab ich jetzt glaub ich mitbekommen.

Vielen Dank für die Hilfe, ohne die wäre ich nicht soweit gekommen. Ich hab dazu mal eine kurze Abhandlung erstellt:

[attach]9721[/attach]

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