Grenzwert - Reihe

01.02.2009, 16:31

Felix

Grenzwert - Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}~(k+1)x^k = \frac{1}{(1-x)^2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \mid x \mid < 1 \end{eqnarray*}$ .

Ich hab leider überhaupt keinen Plan unglücklich

Könnt ihr mir einen Tipp geben ?

lg

01.02.2009, 16:49

Rare676

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~(k+1) \cdot x^k=(\sum_{k=0}^n~x^{k+1})' \end{eqnarray*}$

Jetzt könntest du nach noch eine Umformung die geometrische Reihe anwenden und müsstest dann nur noch ableiten Augenzwinkern

01.02.2009, 17:01

Felix

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Eine wirklich elegante Lösung Big Laugh

Die Aufgabe sollte man jedoch ohne Differenzialrechnung lösen können, da diese erst 2 Kapitel später besprochen wird ...

Ich hab da leider überhaupt keinen Ansatz. Man kann nicht in eine geometrische Reihe umformen und sich auch nicht mit Teleskopsummen helfen unglücklich

01.02.2009, 17:11

tmo

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Es ist
$\begin{eqnarray*} (x-1)\sum_{k=0}^n(k+1)x^k = \sum_{k=0}^n (k+1)x^{k+1} - \sum_{k=0}^n (k+1)x^k = \sum_{k=1}^{n+1} kx^k - \sum_{k=0}^n (k+1)x^k = ... \end{eqnarray*}$

01.02.2009, 17:35

WebFritzi

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RE: Grenzwert - Reihe
$\begin{eqnarray*} (1-x)^2\cdot\sum_{k=0}^{\infty}~(k+1)x^k = \ldots\ldots\ldots = 1. \end{eqnarray*}$

01.02.2009, 18:12

Felix

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Zitat:

Original von tmo
Es ist
$\begin{eqnarray*} (x-1)\sum_{k=0}^n(k+1)x^k = \sum_{k=0}^n (k+1)x^{k+1} - \sum_{k=0}^n (k+1)x^k = ... = ... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\sum_{k=1}^{n} kx^k + nx^{n+1} + x^{n+1} - \sum_{k=0}^n kx^k - \sum_{k=0}^n x^k = nx^{n+1} + x^{n+1} - \frac{1-x^n}{1-x} \end{eqnarray*}$ .

Da hab ich aber ein Minus das ich nicht haben sollte unglücklich

@ Webfritzi

Hier schaff ichs auch ohne falschem Vorzeichen Augenzwinkern

01.02.2009, 18:26

tmo

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Ich weiß nicht warum das Minus dich stört, vor allem da es links doch auch steht:

$\begin{eqnarray*} (x-1)=-(1-x) \end{eqnarray*}$

02.02.2009, 17:28

Felix

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