Mantelfläche Rotationskörper Sinusfkt.

01.02.2009, 15:58

Mantelfläche Rotationskörper Sinusfkt.

Moin!

Aufgabe lautet:
Die Sinuskurve rotiere um die x-Achse. Wie groß ist die Oberfläche des hierbei entstehenden Körpers für das Intervall

$\begin{eqnarray*} 0\leq x \leq \pi \end{eqnarray*}$

Hinweis: Substituieren Sie bei dem entstehenden Integral u=cos(x).

Mein Ansatz:
(Allgemeine Formel für die Mantelfläche)

$\begin{eqnarray*} 2\cdot\pi\cdot\int_{a}^{b}~y\cdot\sqrt{1+y'^{2}}\cdot dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=sin(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'=cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M=2\cdot\pi\cdot\int_{0}^{\pi}~sin(x)\cdot\sqrt{1+cos^{2}(x)}\cdot dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u'=-sin(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx}=-sin(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx=\frac{1}{-sin(x)}\cdot du \end{eqnarray*}$

d.h.

$\begin{eqnarray*} M=2\cdot\pi\cdot\int_{0}^{\pi}~sin(x)\cdot\sqrt{1+u^{2}}\cdot\frac{1}{-sin(x)}\cdot du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =2\cdot\pi\cdot (-cos(x))\cdot \frac{1}{2}\cdot\sqrt{1+cos^{2}(x)}+\frac{cos^{2}(x)}{2}\cdot ln(1+\sqrt{1+cos^{2}(x)}) \end{eqnarray*}$
zwischen 0 und $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$

Meine Frage:
Wie kann ich den Term

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{-sin(x)} \end{eqnarray*}$

integrieren bzw. sind meine Schritte bis hierher richtig?

Ich meine ich kann die Aufgabe auch ganz leicht mit dem TI V200 lösen und erhalte 14,42 FE, jedoch ist die ja nicht per Hand verwirrt

Wäre um Hilfe sehr dankbar!
Gruß KF

01.02.2009, 18:50

uwe-b

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Es sind bei dir einige Fehler drin...

$\begin{eqnarray*} M = 2 \pi \int_0^\pi \sin{(x)} \sqrt{1 + \cos^2{(x)}} \,dx \end{eqnarray*}$

Substitution:
$\begin{eqnarray*} u = \cos(x) \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} \frac{\,du}{\,dx} = -\sin{x} \end{eqnarray*}$ <=> $\begin{eqnarray*} \,du = -\sin(x) \,dx \end{eqnarray*}$

Für die Grenzen: $\begin{eqnarray*} \cos{0} = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cos{\pi} = -1 \end{eqnarray*}$

Also: $\begin{eqnarray*} M = -2 \pi \int_1^{-1} \sqrt{1 + u^2} \,du= 2 \pi \int_{-1}^{1} \sqrt{1 + u^2} \,du \end{eqnarray*}$

01.02.2009, 22:02

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@uwe-b:

Aber wenn ich deine Formel Resubstituiere erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} 2\cdot\pi\cdot\frac{1}{2}\cdot\sqrt{1+cos^{2}(x)}+\frac{cos^{2}(x)}{2}\cdot ln(1+\sqrt{1+cos^{2}(x)}) \end{eqnarray*}$

zwischen $\begin{eqnarray*} 0~und~\pi \end{eqnarray*}$

Das ergibt als Ergebnis: 5,52 FE

oder?

Gruß, KF

02.02.2009, 09:58

uwe-b

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Wie kommst du denn darauf? verwirrt

02.02.2009, 18:22

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Hi!

...steht so bei uns in dem Skript...:

d.h.

$\begin{eqnarray*} \int~\sqrt{x^2+a^2}\cdot dx=\frac{x}{2}\cdot\sqrt{x^2+a^2}+\frac{a^2}{2}\cdot ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C \end{eqnarray*}$

Hab ich jetzt nur darauf angewandt...

Gruß

02.02.2009, 18:28

uwe-b

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Das hat ja aber nicht mit Resubstitution zu tun. Das ist eine Stammfunktion, die du suchst.

02.02.2009, 18:29

uwe-b

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Aber du musst dann richtig einsetzen...

$\begin{eqnarray*} x=u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a = 1 \end{eqnarray*}$

02.02.2009, 19:33

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ok, habe es mal versucht, mit dem taschenrechner kommt mit deiner substitution 14,42 FE heraus, was richtig ist.

jedoch habe ich noch eine frage zu

Zitat:

Substitution:
$\begin{eqnarray*} u=cos(x) \\ u'=-sin(x) \\ \frac{du}{dx}=-sin(x) \\ du=-sin(x)\cdot dx \end{eqnarray*}$

muss ich nicht für dx $\begin{eqnarray*} dx=\frac {1}{sin(x)} \end{eqnarray*}$ einsetzen?...und dann substituieren?Gruß

02.02.2009, 19:39

uwe-b

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$\begin{eqnarray*} -\,dx = \frac{1}{\sin{x}} \,du \end{eqnarray*}$ meinst du sichert... dass setzt du ja auch ein! Augenzwinkern

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