Untersuchen von Folgen auf Eigenschaften

01.02.2009, 21:11

Sandara

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Untersuchen von Folgen auf Eigenschaften

Hi

Wink

wir haben ja mit den Folgen und Reihen begonnen und sind nun bei Untersuchen von Folgen und Reihen angelangt und da fallen mir doch ein paar Dinge auf, die ich gerne euch fragen würde.

Wenn ich eine Folge auf Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz untersuchen soll, muss ich dann alle drei Eigenschaften beweisen?

Bsp: $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{n²+1}{n²+2n+2} \end{eqnarray*}$

Dann zeige ich, dass die Folge monoton ist, wenn $\begin{eqnarray*} a_n \leq a_{n+1} \end{eqnarray*}$
Da komme ich am Ende auf $\begin{eqnarray*} \frac {1+ \frac{1}{n}}{1+ \frac {2}{n}+ \frac{2}{n²}} \leq \frac{1+\frac {1}{(n+1)²}}{1+ \frac {2}{n+}+ \frac{2}{(n+1)²}} \end{eqnarray*}$

Dann multipliziere ich noch die bin. Formeln aus und kann daraus erkennen, dass $\begin{eqnarray*} a_n \leq a_{n+1} \end{eqnarray*}$

Wenn ich beschränkt zeigen will, reicht es da nicht, den Grenzwert zu bestimmen? Oder muss ich das noch explizit zeigen?

Und wenn ich den Grenzwert einer Reihe bestimmt, wie z.B. $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~\frac{(-3)^n}{7^n} \end{eqnarray*}$ muss ich da nicht wenigstens das erste Glied beachten?

Ich meine das so:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~\frac{(-3)^n}{7^n} = 1 - \frac {3}{7} + \sum_{n=2}^\infty~\frac{(-3)^n}{7^n}= \frac{4}{7}+\lim_{n \to \infty} (\frac {-3}{7})^n \end{eqnarray*}$

Dann weiß ich, dass der Grenzwert für gerade Exponenten nach +0 strebt und bei ungeraden Exponenten nach -0, aber insgesamt ist doch

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{(-3)^n}{7^n}= \frac {4}{7} \end{eqnarray*}$

Oder vertue ich mich da?!

Grüße
Sandra

01.02.2009, 21:33

Jacques

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RE: Untersuchen von Folgen auf Eigenschaften
Hallo,

Zitat:

Original von Sandara

Wenn ich eine Folge auf Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz untersuchen soll, muss ich dann alle drei Eigenschaften beweisen?

Das kommt darauf an! Geht es nur um die Eigenschaften selbst, oder soll man auch Schranken, den Grenzwert u. s. w. zahlenmäßig angeben?

Prinzipiell hängen die Eigenschaften ja miteinander zusammen. Wenn man z. B. gezeigt hat, dass die Folge monoton steigt und nach oben beschränkt ist, dann hat man dadurch auch die Konvergenz bewiesen. Umgekehrt folgt aus Konvergenz die Beschränktheit (nach unten und oben).

Zitat:

Original von Sandara

Dann zeige ich, dass die Folge monoton ist, wenn $\begin{eqnarray*} a_n \leq a_{n+1} \end{eqnarray*}$

Das ist irgendwie komisch formuliert. Das $\begin{eqnarray*} a_n \leq a_{n+1} \end{eqnarray*}$ gehört ja gerade zur Definition des streng monotonen Steigens. Also Du zeigst, dass die Folge streng monoton steigt, indem Du $\begin{eqnarray*} a_n \leq a_{n+1} \end{eqnarray*}$ für alle natürlichen Zahlen n nachweist.

Zitat:

Original von Sandara

Wenn ich beschränkt zeigen will, reicht es da nicht, den Grenzwert zu bestimmen? Oder muss ich das noch explizit zeigen?

Aus Konvergenz folgt Beschränktheit, das gilt allgemein. Aber wenn Du konkrete Schranken angeben sollst, dann musst Du natürlich nochmal rechnen.

Zitat:

Original von Sandara

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~\frac{(-3)^n}{7^n} = 1 - \frac {3}{7} + \sum_{n=2}^\infty~\frac{(-3)^n}{7^n}= \frac{4}{7}+\lim_{n \to \infty} (\frac {-3}{7})^n \end{eqnarray*}$

Das ist sicherlich falsch! Warum wird aus

$\begin{eqnarray*} \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{(-3)^n}{7^n} \end{eqnarray*}$

plötzlich

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left( \frac{-3}{7} \right)^n \end{eqnarray*}$

?

Gehe stattdessen so vor: Forme den Bruch nach den Potenzgesetzen um, dann zeigt sich, dass die Reihe eine geometrische Reihe ist. Und dafür gibt es Formeln.

Zitat:

Original von Sandara

Dann weiß ich, dass der Grenzwert für gerade Exponenten nach +0 strebt und bei ungeraden Exponenten nach -0

Das verstehe ich nicht... verwirrt

verwirrt

+0 und -0 sind doch dasselbe, oder? Warum dann diese Unterscheidung?

Übrigens strebt nicht der Grenzwert nach einer Zahl, sondern die Folge! Oder anders formuliert: Die Folge hat den Grenzwert x.

Zitat:

Original von Sandara

aber insgesamt ist doch

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{(-3)^n}{7^n}= \frac {4}{7} \end{eqnarray*}$

Oder vertue ich mich da?!

Keine Ahnung, wie Du darauf kommst. Du hast gerade noch korrekterweise gesagt, dass die Folge gegen 0 konvergiert.

01.02.2009, 22:43

Sandara

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Ja, das ist so ein wenig dann mein Problem gewesen.

Wenn ich die Folge anschaue, dann untersuche ich das Ganze, ich brauch also nicht zu unterscheiden? Also ich muss nicht die ersten Glieder nehmen und den Rest nur noch untersuchen? Wir hätten das in der Schule so nie gemacht, so was ähnliches haben wir das erste Mal in der Uni gemacht.

Wir haben das in der Schule so gemacht.

Wenn ich die Folge vereinfacht habe, schaue ich, was die einzelnen Glieder machen. Haben sie einen Grenzwert, dann sind die beschränkt und konvergent.

Die Anweisung in der Aufgabe, die Folge zu untersuchen, sagt nur: UNtersuchen Sie die Folge auf Beschränktheit, Monotonie und Konvergenz. In der SChule hätte ein Grenzwert gereicht für Konvergenz und Beschränktheit und dann zu schauen, ob die Folge zwischen den einzelnen Gliedern ab- oder zunimmt, monotonie zu zeigen. Und ich dachte, das streng monoton ist, wenn $\begin{eqnarray*} a_n<a_{n+1} \end{eqnarray*}$ und wenn =<, dann ist es nur monoton.

Hab ich mich bei den Potenzgesetzen vertan?

$\begin{eqnarray*} \frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n \end{eqnarray*}$ ??

Wobei ich erst es so hatte: $\begin{eqnarray*} \frac{(-3)^n}{7^n}=(-3)^n \cdot \frac{1}{7^n} \end{eqnarray*}$
Dann pendelt $\begin{eqnarray*} (-3)^n \end{eqnarray*}$ zwischen $\begin{eqnarray*} +3^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -3^n \end{eqnarray*}$ und der Bruch ist konvergent, da geom. Reihe und somit ist das Ganze konvergent.

verwirrt

verwirrt

01.02.2009, 22:55

tigerbine

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Es liegt nicht am Potenzgesetz. Du betrachtest doch keine Folge, sondern eine Reihe. Das Summenzeichen kannst du doch nicht einfach weglassen...

01.02.2009, 23:18

Sandara

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@Tigerbiene:

Ich meinte natürlich die Summe Augenzwinkern

Augenzwinkern

....ändert das was am Ergebnis oder ist das einfach Formalismus?
Ich muss das erstmal wieder geordnet bekommen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie kam ich auf die Frage mit der Reihe: Die Reihe beginnt bei Index=0 und da kommt auf jeden Fall dann 1 raus.

Also fing ich so an:
$\begin{eqnarray*} 1+\sum_{k=1}^\infty~ \frac{(-3)^n}{7^n} \end{eqnarray*}$ . Wenn ich nun wissen will, ob die Folge konvergiert und dadurch automatisch beschränkt ist (durch den Grenzwert), lasse ich das Ganze gegen Unendlich streben.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (1+\sum_{n=1}^\infty~ \frac{(-3)^n}{7^n}) \end{eqnarray*}$ . Das kann man wiederum aufteilen in

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} 1+ \lim_{n \to \infty} \sum_{n=1}^\infty~ \frac{(-3)^n}{7^n} \end{eqnarray*}$
Das ergibt:

$\begin{eqnarray*} 1+ \lim_{n \to \infty} \sum_{n=1}^\infty~ (-3)^n \cdot \frac{1}{7^n} \end{eqnarray*}$

Die Summe (=geometrische Reihe) strebt gegen 0, dann bleibt als Grenzwert =1 übrig und da die geom. Reihe konvergent ist, ist die Reihe konvergent.

Und da wurde ich stutzig, einfach, weil ich mir gar nicht sicher bin, ob ich das darf. Wir haben das so ähnlich in der Vortragsübung gemacht zur Grenzwertbestimmung. Einen Teil herausgezogen und den Rest angeschaut und dann bestimmen können, dass die Reihe konvergent ist.

Aber ich bin auch nicht so firm, ob ich $\begin{eqnarray*} (-3)^n \end{eqnarray*}$ als Faktor vor die Summe ziehen kann oder irgendwie anders auseinander ziehen kann. Wir haben mit dem Thema erst angefangen und bisher kaum gerechnet.

01.02.2009, 23:32

tigerbine

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Also schauen wir uns mal die Reihe an:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~\frac{(-3)^n}{7^n} =\sum_{n=0}^\infty~(-1)^n \Bigl(\frac{3}{7}\Bigr)^n =\sum_{n=0}^\infty~\Bigl(-\frac{3}{7}\Bigr)^n \end{eqnarray*}$

Was muss man sich als erstes fragen? Ist die Folge der Summanden eine Nullfolge? JA. Also könnte der Grenzwert existeren. Nun gibt es verschiedene Konvergenzkriterien, hier erkennt man vielleicht eine bestimmte Form. Geometrische Reihe. Dabei ist

$\begin{eqnarray*} |-\frac{3}{7}| < 1 \end{eqnarray*}$

Somit erhalten wir den Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~\frac{(-3)^n}{7^n} = \frac{1}{1-(-\frac{3}{7})} = \frac{7}{10} \end{eqnarray*}$

Da muss man gar nichts aufteilen. Und das ist auch kein Formalismus, denn es ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left( \frac{-3}{7} \right)^n =0 \end{eqnarray*}$

Du solltest das mit dem Teilklammerungen besser lassen. Gerade wenn du noch nicht weißt, ob die Reihe überhaupt konvergiert. Tut sie das nämlich nicht absolut, kann es da zu Problemen kommen.

Wenn man nun keine bekannte Reihe erkennt, damm muss man z.B. Quotienten oder Wurzelkriterium bemühen

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01.02.2009, 23:41

Sandara

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Ah okay......manche Dinge waren noch nicht so ausführlich dran, aber dann weiß ich ja, was ich morgen früh noch nachschaue Wink

Wink

Doch noch was:

Wenn ich eine Folge wie $\begin{eqnarray*} a_n=\sqrt{n+1}- \sqrt{n-1} \end{eqnarray*}$ untersuchen möchte, kann ich einfach quadrieren oder unter der Wurzel kürzen? Gefühlsmäßig würde ich bei zweiterem Nein sagen, aber auch nciht wirklich sicher.

Danke, Tigerbiene Mit Zunge

Mit Zunge

01.02.2009, 23:53

tigerbine

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unglücklich

Nein, du kannst diese Wurzeln weder unter eine fassen noch würde quadrieren dein "Problem" lösen. Denke mal an die bin. Formel. Da gibt es ein Mittelglied....

02.02.2009, 08:03

Sandara

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RE: Untersuchen von Folgen auf Eigenschaften
Guten Morgen,

nein, ich wollte nicht die Wurzeln unter eine fassen, sondern wollte nur innerhalb der Wurzel mit n kürzen, so dass ich auf $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ komme. Nur darf man das unterhalb der Wurzel?

Binomische Formel..... da fiele mir spontan die dritte wegen dem minus ein.

$\begin{eqnarray*} a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n+1}\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}\sqrt{n-1}-\sqrt{n-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n=\sqrt{n+1} \cdot (1 -\sqrt{n-1}) +\sqrt{n-1} \cdot (\sqrt{n+1} - 1) \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

Wenn es so stimmt......dann hätte ich eine Eingebung bzgl. Grenzwert.

02.02.2009, 08:14

klarsoweit

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Also so richtig kommt da keine binomische Formel zustande.

Erweitere den Folgenterm mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{n+1} + \sqrt{n-1} \end{eqnarray*}$ . smile

smile

02.02.2009, 08:32

Sandara

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$\begin{eqnarray*} a_n=\sqrt{n+1} \cdot (\sqrt{n+1}+ \sqrt{n-1})- \sqrt{n-1} \cdot (\sqrt{n+1}+ \sqrt{n-1}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n=\sqrt{n+1}² + \sqrt{n+1} \sqrt{n-1} - \sqrt{n-1} \sqrt{n+1} - \sqrt{n-1}^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n=n+1-n+1 \end{eqnarray*}$

Oder vertan?

02.02.2009, 08:57

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Erweitern heißt NICHT, dass du einfach so $\begin{eqnarray*} (\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}) \end{eqnarray*}$ dranmultiplizierst und das ganze dann trotzdem noch $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ nennst. Durch diese Multiplikation veränderst du doch die Folge! Finger1

Finger1

Nein, gemeint war natürlich

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}} \end{eqnarray*}$ ,

dann kannst du im Zähler so umformen, wie du es getan hast.

02.02.2009, 09:21

Sandara

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Hergottsakrament..........*fluch*

Also im Moment bin ich in Mathe einfach nicht da traurig

traurig

so doofe Fehler....die hab ich vor nem halben Jahr nicht gemacht, oh mann..........ich trau mich bald nimmer zu fragen, das ist einfach hochnotpeinlich.... unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{\sqrt{n+1}² - \sqrt{n-1}²}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n-1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{n+1-n+1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n-1}}=\frac{2}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n-1}} \end{eqnarray*}$ (außer es hakt nun auch in der Umformung)

Dann wäre $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{2}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n-1}} = 0 \end{eqnarray*}$

seht´s mir nach, ich bin noch am Rotieren. Bald kann ich wieder was und euch erstmal Blumen

Blumen

danke

02.02.2009, 11:16

Sandara

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Ich möchte doch noch eine Frage in den Raum stellen:

WEnn ich die Folge $\begin{eqnarray*} a_n=sin (n) \end{eqnarray*}$ auf Monotonie und Grenzwert untersuchen möchte, gibt es da einen besonderen Weg zum Zeigen? Denn das sin(n) zwischen (-1) und (1) pendelt und divergent ist, das weiß man ja, aber wie zeige ich das? Ich stoße beim Suchen immer wieder auf: Wie ist die Definition für sin(x), aber wir hatten da bisher gar ncihts davon und im Skript finde ich nur was in Bezug auf komplexe Zahlen dazu.

Oder nehme ich (1) und zeige, dass sin(n) nicht > als (1) ist, womit ich Beschränktheit zeigen würde, aber die Folge ist ja Intervallsmäßig monoton fallend oder steigend.

verwirrt

verwirrt

02.02.2009, 11:50

klarsoweit

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Zitat:

Original von Sandara
Ich stoße beim Suchen immer wieder auf: Wie ist die Definition für sin(x), aber wir hatten da bisher gar ncihts davon und im Skript finde ich nur was in Bezug auf komplexe Zahlen dazu.

Also ohne eine Definition des Sinus geht es wirklich nicht weiter. Dann braucht man noch weitere Eigenschaften, z. B. wann der Sinus die Werte 0 bzw. 1 annimmt.

02.02.2009, 13:02

Sandara

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Ist das verwendbar (Stichwort: Taylorreihe)?
Das hatten wir noch nicht, es wurde nur angekündigt. Wobei, wenn ich es genauer anschaue, wirkt es nicht passend.

Wann wird der sin (n) = 0 oder 1? Das ist ja von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ abhängig. Für $\begin{eqnarray*} n= 0, \pi, 2 \pi \end{eqnarray*}$ wird der sin(n) = 0, für $\begin{eqnarray*} n=\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \end{eqnarray*}$ wird der sin(n) = 1.

Ich hab grad nochmal geschaut, aber unter Folgen ist keine Definition für sin oder cos, erst unter Potenzreihen in Bezug auf komplexe Zahlen und dann wieder unter spezielle Funktionen. Aber ich möchte ja eine Folge untersuchen.

Was mach ich denn dann?? Ich hab drei Aufgaben, zweimal mit Sinus, einmal mit Kosinus, die ich lösen möchte...und ich finde im Internet wenig brauchbares. Ich finde oft $\begin{eqnarray*} lim_{n \to 0} \frac{sin (n)}{n}=1 \end{eqnarray*}$ , aber bringt das mich weiter??

02.02.2009, 13:18

klarsoweit

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Zitat:

Original von Sandara
Für $\begin{eqnarray*} n= 0, \pi, 2 \pi \end{eqnarray*}$ wird der sin(n) = 0, für $\begin{eqnarray*} n=\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \end{eqnarray*}$ wird der sin(n) = 1.

Das ist doch brauchbar. Bilde daraus 2 Teilfolgen von sin(n), die unterschiedliche Grenzwerte haben.

02.02.2009, 14:13

AD

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Wenn von der Folge $\begin{eqnarray*} a_n=\sin(n) \end{eqnarray*}$ , d.h. von $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ die Rede ist, dann ist die Betrachtung von Argumenten $\begin{eqnarray*} n=\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2} \end{eqnarray*}$ ziemlich sinnfrei: Diese Werte tauchen als Indizes nicht auf. unglücklich

unglücklich

Das Problem ist, dass dieses $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ die Werte 0, 1 oder -1 nie annimmt, ihnen allenfalls beliebig nahe kommt. Generell klappt für diese Folge die Idee von unterschiedlichen konstanten Teilfolgen mit dann unterschiedlichen Konstanten nicht, man kann nämlich leicht beweisen, dass keine zwei Folgenglieder gleich sind. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie kann man nun trotzdem "mathematisch gründlich" die Divergenz dieser Folge beweisen, mit vertretbarem Aufwand? Vielleicht so:

Man unterteilt die reellen Zahlen in disjunkte Intervalle $\begin{eqnarray*} I_k := \left[ \frac{\pi}{4} + k\cdot \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4} + k\cdot \frac{\pi}{2} \right) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , sozusagen sind das die um $\begin{eqnarray*} 45^{\circ} \end{eqnarray*}$ "gedrehten" Winkelquadranten.

Da die Länge dieser Intervalle mit jeweils $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ größer als 1 ist, muss das Argument $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ der Folge $\begin{eqnarray*} a_n=\sin(n) \end{eqnarray*}$ auf seinem Weg $\begin{eqnarray*} n=0,1,2,\ldots \end{eqnarray*}$ jedes dieser Intervalle $\begin{eqnarray*} (I_k)_{k=0,1,\ldots} \end{eqnarray*}$ wenigstens einmal passieren.

Nun kommt der eigentliche Sinn dieser Intervalleinteilung zum Tragen: Für $\begin{eqnarray*} x\in I_{4k} \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \sin(x) \geq \frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$ , während für $\begin{eqnarray*} x\in I_{4k+2} \end{eqnarray*}$ dagegen $\begin{eqnarray*} \sin(x) \leq -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$ gilt. Man erhält somit eine unendliche Teilfolge von $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ mit unterer Schranke $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$ , sowie auch eine Teilfolge mit oberer Schranke $\begin{eqnarray*} -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$ , das macht die Konvergenz der Gesamtfolge unmöglich.

03.02.2009, 08:41

Sandara

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Wow.....

verwirrt

so eine kleine unscheinbare Folge und so "viel" drumrum Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich werde mir das gleich zu Gemüte ziehen, ich hab heut mittag Übung.

Was mach ich denn, wenn ich $\begin{eqnarray*} sin (n\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}$ in einer Folge stehen habe? Kann ich den Term auseinanderziehen? Die Folge insgesamt lautet: $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{2n-1}{(n-1)²} \cdot sin (n\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}$ und ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} sin (\frac{\pi}{2}) = 1 \end{eqnarray*}$ ist.

Aber ist es erlaubt? Das "n" ist ja nicht ohne BEdeutung an der Stelle. Wenn ich Werte einsetze, wechselt der Wert ja zwischen 1,0,-1. Kann man das denn anders umformen? Oder beachte ich nur den vorderen Teil des Produkts und "missachte" dafür erstmal den hinteren Teil?

Menno, immer wenn ich denke, ich komme voran, stolpere ich über Rechengesetze, die ich entweder wohl erfolgreich verdrängt habe oder nicht weiß.

03.02.2009, 09:23

AD

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Zitat:

Original von Sandara
Die Folge insgesamt lautet: $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{2n-1}{(n-1)^2} \cdot sin (n\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}$

Verstehe ich das jetzt richtig: Es geht gar nicht um die Folge $\begin{eqnarray*} (\sin(n)) \end{eqnarray*}$ , sondern um diese Folge hier? Sag das doch gleich, das ist doch viel einfacher! Finger1

Finger1

Und von der sollst du die Konvergenz klären? Dann widme dich mal dem Verhalten des Faktors $\begin{eqnarray*} \frac{2n-1}{(n-1)^2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ , dann spielt nämlich der Sinusterm nur noch insofern eine Rolle, dass er beschränkt ist.

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