Matrixexponential

02.02.2009, 00:43

Bjoern1982

Matrixexponential

Hallo,

sei $\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

a) Berechne B=exp(A)

Ich habe das hier benutzt:

http://de.wikipedia.org/wiki/Matrixexpon...ilpotenter_Fall

weil offensichtlich durch A^4 die Einsen verschwinden und A damit nilpotent sein muss.

Damit komme ich auf $\begin{eqnarray*} e^A=E+A+\frac{1}{2}A^2+\frac{1}{6}A^3= \begin{pmatrix} 1 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{6} \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Auffällig ist ja dass A schon JNF hat, gibt es womöglich in diesem Fall noch eine elegantere Methode zur Berechnung von e^A oder würdet ihr auch so vorgehen ?

b) Sei C=E+A (A ist dann offenbar der Eigenraum von C zum einzigen EW 1)

Bestimme eine invertierbare Matrix T mit $\begin{eqnarray*} T^{-1}CT=B \end{eqnarray*}$

Hier weiss ich leider nicht weiter verwirrt

Kann mir da jemand weiterhelfen ?

Gruß Björn

02.02.2009, 00:50

tigerbine

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RE: Matrixexponential
a) Würde ich auch so machen.

b) Was sind das nun für Matrizen? verwirrt

02.02.2009, 01:06

Bjoern1982

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Ist die Frage an mich oder grübelst du auch noch ein wenig ?

Falls es an mich war, ich kann dazu nur sagen dass C offenbar schon JNF hat mit dem einzigen EW 1 mit AV=4.

Mehr fällt mir dazu leider nicht ein unglücklich

02.02.2009, 01:13

tigerbine

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A ist das Teil von oben... Weil allgemein machte das gerade keinen Sinn. Und das B stammt aus Aufgabe a)....

C ist eine JNF. Wenn man das nun umschreibt:

$\begin{eqnarray*} C=TBT^{-1} \end{eqnarray*}$

Dann ist C die JNF von B, oder? (so ganz taufrisch bin ich nicht mehr Ups

)

02.02.2009, 01:24

Bjoern1982

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Zitat:

A ist das Teil von oben... Weil allgemein machte das gerade keinen Sinn. Und das B stammt aus Aufgabe a)

Genau

Zitat:

C ist eine JNF. Wenn man das nun umschreibt:

$\begin{eqnarray*} C=TBT^{-1} \end{eqnarray*}$

Dann ist C die JNF von B, oder?

Ich hoffe mal, von der ähnlichen Struktur der beiden würde ich es vermuten, da B auch obere Dreiecksmatrix ist mit ablesbarem einzigen, vierfachen EW 1 mit dim Kern (B-E)=1 (also 1 Viererblock) wodurch das mit C ganz gut hinkommt.

Hatte auch schon überlegt die Gleichung umzustellen, muss ich also T ganz normal mit Hilfe der passenden Haupträume bestimmen bzw aus entsprechenden Basisvektoren aus diesen Räumen ?

02.02.2009, 01:26

tigerbine

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Naja, ähnlich sind die Matrizen, C ist JNF, also würde ich meinen, dass man es so machen kann. Alternativen habe ich nicht auf Lager Tränen

02.02.2009, 01:34

Bjoern1982

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Hehe, nicht traurig sein...hier hast ein paar Blümchen Blumen

Ich rechne das dann mal nachher oder morgen in der Bahn Augenzwinkern

Danke fürs drüberschauen =)

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