Orthogonale 3x3 Matrizen |
| 02.02.2009, 02:06 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Orthogonale 3x3 Matrizen es geht also um Matrizen A aus O(3) z.z.: a) die Menge der Eigenwerte ist niemals leer b) Falls det(A)=1 mit Eigenwert -1 oder det(A)=-1 mit Eigenwert 1, so ist A diagonalisierbar. zu a) Orthogonale Matrizen haben doch eh immer einen Eigenwert 1 oder -1 oder irre ich da ? zu b) In diesen Fällen scheint dann AV=GV zu gelten oder 
Gruß Björn |
||||||
| 02.02.2009, 02:56 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Orthogonale 3x3 Matrizen Du schreibst orthogonal, also gehe ich davon aus, dass es sich um einen reellen VR handelt. Denn die Defintiion sagt ja, dass es eine relle reguläre Matrix ist, deren Inverse gerade ihre Transponierte ist. Naja, ob das nun am orthogonal liegt mit dem Spektrum. Bei 3x3 zieht auch schon mal der Hauptsatz der Algebra. das charPoly hat mind, eine reelle Nullstelle. Überlegen wir uns schnell eine Matrix, die sonst nur komplex (konjugierte EW) hat. Das sollten wir aber schaffen. An dem unteren Block findest du auch die Begründung, warum das Spektrum mal leer über IR sein kann, wenn die Maße gerade sind. Bei b) denkst du nun selber nochmal nach. Othogonale Matrizen sind immer Blockdiagonaliserbar. Warum muss bei der Vorgaben, das charPoly komplett in linearfaktoren zerfallen? Dann ist die Matrix wirklich diagonal. |
||||||
| 02.02.2009, 11:14 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi 
zu a) Mir ist nicht ganz klar warum gerade bei orthogonalen 3x3 Matrizen das charPoly 3. Grades auf jeden Fall Nullstellen in IR haben MUSS - was genau gibt da den Ausschlag ? Gibt es einen Satz, der besagt, dass es keine irreduziblen Polynome 3. Grades gibt oder anders formuliert kann man verwenden, dass Polynome 3. Grades IMMER eine reelle Nullstelle haben ? zu b) Ich kenne mich mit Blockmatrizen und ihren Eigenschaften leider nicht so aus. Deshalb kann ich auch nicht nachvollziehen dass gerade die Matrizen aus O(n) immer blockdiagonalisierbar sind. Wenn es denn so ist, und blockdiagonalisierbar bedeutet, dass jede mögliche Blockmatrix - also insbesondere auch die in der 3x3 Matrix enthaltenden 2x2 Blockmatrizen - diagonalisierbar sind, dann bräuchte ich ja gar nicht mehr die Bedingungen über det und EW....insofern gehen meine Gedanken da wohl in die falsche Richtung. Edit: Auch dass es scheinbar einen Zusammenhang zwischen Diagonalisierbarkeit, Determinante und Eigenwerten gibt ist mir neu bzw einen Zusammenhang zwischen Determinante, Eigenwerten und der Linearfaktorzerlegung des Charpoly. |
||||||
| 02.02.2009, 13:40 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
a) Bjoern, möchtest du die Frage doch nicht lieber selbst beantworten und nochmal über Polynomfunktion mit ungeradem Grad nachdenken? Und den Satz hatte ich zitiert. Ein Analytiker würde sagen: Hauptsatz, naja, der Zwischenwertsatz würde es auch tun. 
Eine Folgerung ist, dass irreduzible Polynome über IR den maximalgrad 2 haben. b) Über C würde das char. Polynom in Linearfaktoren zerfallen. mit a folgt, dass wir wenn komplex, dann paarweise Konjugierte Nullstellen haben. Diese kann man in einem Zweierblock mit sin und cos darstellen. Und wenn sie noch den Betrag eins haben (Einheitskreis!) wird es doch recht einfach. Auch zu dem Edit: Na wann ist ist denn eine Matrix diagonalierbar? charpoly zerfällt in Linearfaktoren (Tridiagonalierbar!) und dann noch AV=GV. Hier hat es aber damit etwas zu tun, dass wir wissen, dass bei einer orthogonalen Matrix die Eigenwerte den Betrag 1 haben. Aber kümmer dich nun erstmal um a und b. Bis später! |
||||||
| 02.02.2009, 19:15 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gut dann mal ein neuer Versuch: a) ist nun klar b)
Soweit klar
Joa gibts halt unendlich viele die auf der Kreislinie liegen ne aber das ist sicher nicht das was du hören wolltest
Also es geht ja darum, dass in IR das Polynom auch wirklich in Linearfaktoren zerfällt. Die Vorgabe det(A)=1 mit EW=-1 (und umgekehrt) muss wohl dazu führen, dass es NUR reelle EW geben kann. Falls dieser EW -1 ein zusätzlicher zu dem aus a) schon existierenden reellen EW ist, dann ist die Diagonalisierbarkeit klar, da ein möglicher komplexer EW nicht ein-fach auftreten kann, wodurch man dann auf 3 Linearfaktoren käme. Falls dieser EW -1 eben der aus a) wäre, und noch zwei weitere existieren müssen, könnten diese somit auch komplex mit der Länge 1 sein. Die Aussage det(A)=1 muss damit dann wohl aussagen, dass diese beiden anderen EW auch noch reell sind - und genau das verstehe ich (noch) nicht. Mag sein dass da vieles Unfug ist, aber das sind so meine Gedanken im Moment
Mal sehen ob heute noch die Erleuchtung kommt 
|
||||||
| 02.02.2009, 19:19 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich wollte wissen, wie so ein Block dann aussieht.
Steht ja im Grunde schon hier im Thread. du siehst es wohl nur nicht. |
||||||
| Anzeige | ||||||
|
|
||||||
| 02.02.2009, 19:32 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Joa du meinst sicher mit Determinante 1 und EW was allen komplexen Zahlen mit der Länge 1 in Polarform entspricht. |
||||||
| 02.02.2009, 19:42 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
jupp. und wie lautet die Determinante von so einer Blockmatrix? |
||||||
| 02.02.2009, 19:45 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hatte ich ja geschrieben: 1=cos²(phi)+sin²(phi) |
||||||
| 02.02.2009, 19:46 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und was folgt damit? |
||||||
| 02.02.2009, 20:34 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hmm damit ich mich nicht noch zu lange damit aufhalte lege in dieses Problem erstmal auf Eis und schaue ob ich nachher nochmal drauf zurückkomme wenn ich die anderen Sachen wiederholt habe - ist ja nie gut wenn man sich in einer Klausur die ganze Zeit einer AUfgabe widmet, es halt nicht hinbekommt und am Ende dann gar nichts hat 
Insofern halt enttäuschend für dich dass ich es trotz deiner Mühe und den vielen Beiträgen nicht geschafft habe, aber kann halt auch mal vorkommen, dass ich den Wald vor lauten Bäumen einfach nicht sehe
Wie meine Denkweise war hatte ich 3 Beiträge zuvor geschildert. Im Endeffekt war ich eben an der Stelle
Da det(A)=1 nach Betrachtung deiner Matrix offenbar nichts damit zu tun hat, dass die beiden anderen EW reell sein müssen bin ich dann mit meinem Latein auch am Ende und drehe mich dann auch nur im Kreis 
Ich werde nun noch duale Räume und unitäre Abbildungen anschauen und wenn dann noch Zeit ist nochmal hierein schauen
|
||||||
| 02.02.2009, 20:39 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Orthogonale 3x3 Matrizen Ach Björn...
C ist diese Blockmatrix. Nun soll gelten: Dann muss doch gelten. Kann das sein, wenn das C diese Blockgestalt hat? Nein, also muss das charPoly über IR in LF zerfallen. |
||||||
| 02.02.2009, 21:10 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, dann hab ichs wohl doch noch geschnallt 
Auf die Idee eine solche Matrix zu konstruieren und dann mit LaPlace-Entwicklung einen Widerspruch zu bekommen wäre ich sicher nie gekommen. Wenn man es dann sieht erscheint es logisch 
Naja....was soll man sagen...vielen Dank für deine Geduld Björn |
||||||
| 02.02.2009, 21:18 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
diese 2x2 Matrizen solltest du dir merken.
|
||||||
| 02.02.2009, 21:32 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich bin sicher sie werden mich noch ne Weile verfolgen
|
||||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
