Transformation von Zufallsvariable

02.02.2009, 10:49

martingale

Transformation von Zufallsvariable

Gegeben sei eine ZV X, die folgende Dichte hat:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} x|cos(x)|, & \text{wenn }-\pi\le x\le\pi\\ 0, & \text{ }\text{ sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Finden Sie a, so dass f(x) eine Dichte ist, das ist habe ich schon gemacht $\begin{eqnarray*} a=\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ , ging sehr einfach.

Dann soll X transformiert werden $\begin{eqnarray*} g(x)=sin(x) \end{eqnarray*}$ . Für die neue ZV Y gilt
$\begin{eqnarray*} Y=g(X)=sin(X) \end{eqnarray*}$ . Finden Sie die Dichte und die Verteilungsfunktion von Y, und berechnen Sie $\begin{eqnarray*} P(0.03<Y<0.23) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} g^{-1}(y)=sin^{-1}(y)=arcsin(y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y)) \frac{1}{|g'(g^{-1}(y))|} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g^{-1}(y)=arcsin(y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g'(y)=cos(y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_Y(y)=\frac{1}{4}|cos(arcsin(y))|\frac{1}{|cos(arcsin(y)|}=\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$
Die Dichte von Y ist: $\begin{eqnarray*} f_Y(y)=\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ Die Grenzen sind entsprechend $\begin{eqnarray*} [{-1}\le y\le 1] \end{eqnarray*}$

Die Dichte von Y: $\begin{eqnarray*} f_Y(y)=\begin{cases} \frac{1}{4}, & \text{wenn }-1\le y\le 1\\ 0, & \text{ }\text{ sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Und jetzt die Verteilungsfunktion von Y: $\begin{eqnarray*} F_Y(y)=\int_{-\infty }^{\alpha}\frac{1}{4}dy=\int_{-1 }^{\alpha}\frac{1}{4}dy=\frac{1}{4}\left[y\right]_{-1}^\alpha=\frac{1}{4}\left[\alpha-(-1)\right]=\frac{1}{4} (\alpha+1) \end{eqnarray*}$

Damit bekommen wir die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_Y(\alpha)\begin{cases} 0, & \text{wenn } - \infty< \alpha < -1\\ \frac{1}{4} (\alpha+1) , & \text{wenn } -1\le \alpha \le 1\\1, & \text{wenn } 1 < \alpha < \infty \end{cases} \end{eqnarray*}$

Und jetzt das Problem $\begin{eqnarray*} F_Y(1)=0.5 \end{eqnarray*}$ , obwohl es eigentlich 1 sein soll. Hat jemand eine Idee, was ich falsch mache?

Danke im Voraus.

Gruß

02.02.2009, 11:19

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Bevor ich überhaupt weiterlese, gilt es erstmal das hier zu korrigieren:

Zitat:

Original von martingale
Gegeben sei eine ZV X, die folgende Dichte hat:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} x|cos(x)|, & \text{wenn }-\pi\le x\le\pi\\ 0, & \text{ }\text{ sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Ich nehme an, du meinst

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} a|\cos(x)|, & \text{wenn }-\pi\le x\le\pi\\ 0, & \text{ }\text{ sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Bitte zumindest bei der Aufgabenstellung äußerste Sorgfalt wahren, sonst kommt der Nachvollziehende in Teufelsküche. Augenzwinkern

02.02.2009, 11:30

martingale

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Bevor ich überhaupt weiterlese, gilt es erstmal das hier zu korrigieren:

Zitat:

Oh sorry,die Aufgabe ist genau so, wie du mich korrigiert hast ! Danke !
Ich denke, ich darf diese Transformationsformel gar nicht verwenden, da die Transformationsfunktion sin(x) nicht monoton auf $\begin{eqnarray*} [-\pi\le x\le\pi] \end{eqnarray*}$ ist.

Ich muss diese Formel verwenden, aber ich weiss nicht wie:
[attach]9731[/attach]
wobei n(y) ist die Anzahl der Lösungen der Gleichung g(x) = y, und $\begin{eqnarray*} g^{-1}_{k}(y) \end{eqnarray*}$ sind diese Lösungen. Aber wie viele sind diese Lösungen und wie kann ich die finden?

02.02.2009, 11:32

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Stimmt, das ist der Grund: Die ganze nachfolgende Rechnung geht so leider nicht, weil $\begin{eqnarray*} g(x)=\sin(x) \end{eqnarray*}$ im betrachteten Intervall $\begin{eqnarray*} (-\pi,\pi) \end{eqnarray*}$ KEINE bijektive Funktion ist. Für solche Fälle funktionieren deine Transformationsformeln wie

$\begin{eqnarray*} f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y)) \frac{1}{|g'(g^{-1}(y))|} \end{eqnarray*}$

einfach nicht - die setzen Bijektivität und damit Umkehrbarkeit von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ voraus. Das ist auch der Grund dafür, warum dir die Hälfte der Wahrscheinlichkeitsmasse auf dem Weg "verlorengeht", was du dann am Ende aber immerhin gemerkt hast. Augenzwinkern

Nein, da musst du dir was anderes überlegen, am besten zurückgehend auf die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_Y \end{eqnarray*}$ .

02.02.2009, 11:43

martingale

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Meinst du so: $\begin{eqnarray*} F_{g(X)}(\alpha)=\int_{g(x)\le\alpha }^{}f_X(x) dx \end{eqnarray*}$ ?

Vielen Dank Arthur Dent !

02.02.2009, 11:46

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Ja, irgendwie schon.

Es ist $\begin{eqnarray*} F_Y(y) = P(\sin(X) \leq y) \end{eqnarray*}$ . Schauen wir uns zunächst den Fall negativer $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Werte an, also $\begin{eqnarray*} -1\leq y<0 \end{eqnarray*}$ , z.B. $\begin{eqnarray*} y=-0.3 \end{eqnarray*}$ :

Welche $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Werte liegen denn nun unter (oder auf) der Niveaulinie $\begin{eqnarray*} y=-0.3 \end{eqnarray*}$ ? Nun, gerade $\begin{eqnarray*} -\pi-\arcsin(y) \leq x \leq \arcsin(y) \end{eqnarray*}$ . Also ist

$\begin{eqnarray*} F_Y(y) = P(\sin(X) \leq y) = P(-\pi-\arcsin(y) \leq X \leq \arcsin(y)) = F_X(\arcsin(y)) - F_X(-\pi-\arcsin(y)) \end{eqnarray*}$ .

Abgeleitet nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ unter Beachtung von $\begin{eqnarray*} F_X' = f_X \end{eqnarray*}$ sowie der Kettenregel ergibt sich dann

$\begin{eqnarray*} f_Y(y) = f_X(\arcsin(y))\cdot \frac{1}{\sqrt{1-y^2}} + f_X(-\pi-\arcsin(y))\cdot \frac{1}{\sqrt{1-y^2}} \end{eqnarray*}$ .

Na dann weiterhin frohes Rechnen, auch im Fall $\begin{eqnarray*} 0\leq y\leq 1 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

02.02.2009, 11:47

martingale

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Du bist genial ! smile

Danke !

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