Nullstellen ganzrationeller Funktionen

02.02.2009, 14:34

jean-paul

Nullstellen ganzrationeller Funktionen

Hallo Leute,
ich bitte um Eure Hilfe zu folgender Aufgabe:

Die Funktion f habe bei 1 eine Nullstelle, c und d seien aus IR (Natürlichen Zahlen 1,2,3..)
Welche Bedingungen müssen c und d erfüllen?
Geben sie weitere Bedingungen für c und d an, damit f keine (eins,zwei) weitere Nullstellen hat.

$\begin{eqnarray*} f(x)=2x³+2x²+cx+d \end{eqnarray*}$

Soll ich nun gleich "Probieren" anschließen eine Polynomdivision durchführen??
Wie soll ich anfagen?

Danke im voraus

02.02.2009, 14:45

mYthos

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Die Menge der natürlichen Zahlen heisst aber IN (nicht IR).

Die Polynomdivision ist schon mal eine gute Idee. Dividiere also durch (x -1), weil ja 1 eine Nullstelle ist. Die Division darf keinen Rest aufweisen. Das im Quotienten verbliebene quadratische Polynom hat dann im Allgemeinen 2 Lösungen, das muss man dann dort noch weiter diskutieren ...

mY+

02.02.2009, 14:50

Q-fLaDeN

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Zur 1. Teilaufgabe.

Wenn $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle sein soll, dann muss $\begin{eqnarray*} f(1) = 0 \end{eqnarray*}$ sein.

Also $\begin{eqnarray*} f(1) = ... = 0 \end{eqnarray*}$

Nun kann man die Bedingung(en) für c und d aufstellen.

02.02.2009, 14:59

mYthos

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Bemerkung:

Das von Q-flaDeN angeregte Einsetzen des Punktes (1; 0) in die Funktionsgleichung ist von großer Bedeutung, denn dann kann d durch einen dementsprechenden Ausdruck in c ersetzt werden, und die Polynomdivision hat dann wirklich keinen Rest!

mY+

02.02.2009, 15:28

jean-paul

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Die Bedingungen für c und d sind wenn x=1:
$\begin{eqnarray*} f(1)=2+2+c+d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -3=c+d \end{eqnarray*}$

--> -4<c<0
-3<d<0
und
-4<d<0
-3<c<0 ????

$\begin{eqnarray*} (2x³+2x²+cx+d) / (x-1)= 2x²+4x+4 \end{eqnarray*}$

Folgender Rest bleibt mir $\begin{eqnarray*} c+d+4 \end{eqnarray*}$

WIe soll ich weiter vorgehen?

02.02.2009, 15:30

uwe-b

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$\begin{eqnarray*} f(1) = 4+c+d = 0 \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} c = -d-4 \end{eqnarray*}$ .

Das kannst du dann einsetzen und bekommst $\begin{eqnarray*} f(x) = 2x^3+2x^2-d-4 +d \end{eqnarray*}$

02.02.2009, 15:38

mYthos

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Du solltest genau so vorgehen, wie beschrieben, nämlich d durch einen Term in c ersetzen und anschließend dividieren. Da brauchst du nicht die Ungleichungen, das ist der falsche Weg. Übrigens ist f(1) = 0 und nicht 1.

$\begin{eqnarray*} 0 = 2 + 2 + c + d \end{eqnarray*}$

Nun, d = ? (ein Term in c)! Einsetzen und dividieren, der Quotient wird bei richtiger Rechnung zu

$\begin{eqnarray*} \ldots = 2x^2 + 4x + c + 4 \end{eqnarray*}$

mY+

02.02.2009, 15:38

Q-fLaDeN

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Naja, das ist auch nicht ganz richtig @uwe-b

$\begin{eqnarray*} f(1) = 4+c+d \Rightarrow d = -c-4 \Rightarrow f(x)=2x³+2x²+cx+(\overbrace{-c-4}^{:=d}) \end{eqnarray*}$

Wenn man nach c auflöst, dann würde die Funktionsgleichung so lauten:

$\begin{eqnarray*} f(x)=2x³+2x²+(-d-4)x+d \end{eqnarray*}$

Und das ist m. M. n. "unangenehmer"

02.02.2009, 15:42

mYthos

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Zitat:

Original von uwe-b
...
Das kannst du dann einsetzen und bekommst $\begin{eqnarray*} f(x) = 2x^3+2x^2-d-4 +d \end{eqnarray*}$

Das stimmt nicht.

mY+

02.02.2009, 16:28

jean-paul

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jop stimmt 2x²+4x+4+c hab ich auch raus.

Jetzt kann ich sagen, dass :
wenn c eine positive Zahl ist gibt es keine weitere Nullstelle.

beweis: in die PQ-Form bringen $\begin{eqnarray*} 0=x²+2x+2+c/2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x1/2= 1+/- Wurzel aus (-3) \end{eqnarray*}$

wenn $\begin{eqnarray*} c=-2 \end{eqnarray*}$ dann gibt es eine weitere Nullstelle
$\begin{eqnarray*} x1/2= 1 \end{eqnarray*}$

wenn $\begin{eqnarray*} c= -3 (-4,-5,...) \end{eqnarray*}$ dann gibt es 2 weitere Nullstellen

02.02.2009, 17:28

Q-fLaDeN

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Man argumentiert hier etwas anders.

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = -\frac{2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac 2 2 \right)^2-2-\frac c 2} = -1 \pm \sqrt{-1-\frac c 2} \end{eqnarray*}$

Für D (=Diskriminante) > 0 gibt es 2 weitere Lösungen.

Für D = 0 gibt es eine weitere Lösung

Für D < 0 gibt es keine weitere Lösung

Also löse die jeweiligen Fälle nach c auf.

Vllt. hast du das auch gemeint, jedoch geht aus deinem Beitrag nicht viel wissenswertes hervor smile

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