Konvergenzradius

02.02.2009, 15:29

fisch10

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Konvergenzradius

Hallo zusammen.

Ich habe ein Problem mit folgendem Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} x\lim_{k\to\infty}\sum_{k=0}^\infty~\frac{k^2}{(k+1)^2} \end{eqnarray*}$

Fragestellung: Bestimme Konvergenzradius von $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~k^2x^k \end{eqnarray*}$

Ergebnis resultiert aus Quotientetnkrit. ak/ak+1

Kann mir jemand sagen ob ich das Ergebnis richtig habe und wenn ja woraus ich dann erkenne, was mein Konvergenzradius ist.
Kapier nicht ganz wie ich das Ergebnis gegen 00 laufen lassen soll!!

Danke

02.02.2009, 15:36

uwe-b

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Was ist denn bei deiner Reihe $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ ?

Du musst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \mid \frac{a_{k+1}}{a_k} \mid \leq q < 1 \end{eqnarray*}$ (Quotientenkriterium)

Dies ist bei deiner Reihe nicht schwer!

02.02.2009, 15:40

AD

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Zitat:

Original von fisch10
$\begin{eqnarray*} x\lim_{k\to\infty}\sum_{k=0}^\infty~\frac{k^2}{(k+1)^2} \end{eqnarray*}$

Das ist symbolischer Bullshit. Vermutlich soll das die arg verstümmelte Variante der Konvergenzradiusformel

$\begin{eqnarray*} R = \lim_{k\to\infty} \frac{k^2}{(k+1)^2} \end{eqnarray*}$

der nachfolgend genannten Potenzreihe sein.

02.02.2009, 15:42

fisch10

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heißt dass, das ich falsch gerechnet habe? ich habe mit ak/ak+1 gerechnet wie es bei uns für potenzreihen im skript steht?!?

02.02.2009, 15:47

fisch10

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Mist... natürlich kommt das Summenzeichen nicht vor Sorry... hab ich wohl im formeleditor nen schmarren gemacht!!!!

02.02.2009, 15:58

fisch10

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mmh und das wars jetzt... kann mir keiner sagen wie ich nun auf den konvergenzradius von diesem therm aus komme?!?
$\begin{eqnarray*} x\lim_{k\to\infty}\frac{k^2}{(k+1)^2} \end{eqnarray*}$

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02.02.2009, 16:09

AD

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Na einfach wie immer vorgehen bei Grenzwerten gebrochen rationaler Funktionen: Größte Potenz in Nenner und Zähler ausklammern und dann kürzen!

$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty} \frac{k^2}{(k+1)^2} = \lim_{k\to\infty} \frac{1}{\left(1+\frac{1}{k}\right)^2} = 1 \end{eqnarray*}$

02.02.2009, 16:44

fisch10

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den schritt versteh ich leider nicht... kannst du mir das bitte kurz erklären?! wie kannst du unten k^2 ausklammern?!?!?

02.02.2009, 16:48

AD

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Herrje...

$\begin{eqnarray*} (k+1)^2 = \left(k\cdot \left( 1 + \frac{1}{k} \right) \right)^2 = k^2\cdot \left( 1 + \frac{1}{k} \right)^2 \end{eqnarray*}$

02.02.2009, 16:50

Ausklammerlein123

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$\begin{eqnarray*} \frac {k^2}{(k+1)^2 } = (\frac {k}{k+1} )^2 = ( \frac {\frac {k}{k}}{ \frac {k}{k} + \frac {1}{k}})^2 = \frac {1}{1+ \frac {1}{k}} )^2 \end{eqnarray*}$

02.02.2009, 17:56

fisch10

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danke

01.03.2009, 15:53

wergor

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hallo,
ich habe gerade ein ähniches beispiel gerechnet, wollte gerne wissen ob ich das richtig gemacht habe?
konvergenzradius berechnen von:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{oo} ~(-1)^{n} \frac{x^{n}}{n^{2}} \end{eqnarray*}$

3 stunden später Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} r = x \lim_{n \to oo} \mid \frac{(n+1)^2}{n^2} \mid \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r = x \lim_{n \to oo} \mid (1 + \frac{1}{n})^2 \mid \end{eqnarray*}$

-->
r = 1

ist das richtig?

01.03.2009, 16:58

Musti

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Zitat:

Original von wergor
$\begin{eqnarray*} r = x \lim_{n \to oo} \mid (1 + \frac{1}{n})^2 \mid \end{eqnarray*}$
r=1

Das stimmt, aber was sucht das x immer in deiner Quotientenregel?

01.03.2009, 20:45

wergor

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wo und wie sollte es denn wegfallen? bei mir bleibt es immer in der gleichung.

01.03.2009, 21:15

Musti

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Bei Potenzreihen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~c_n(x-a)^n \end{eqnarray*}$

wird in der Quotientenformel der Koeffizient $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ untersucht.
Da steckt mit Sicherheit kein x drinn.

02.03.2009, 00:49

WebFritzi

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Unterscheide:

1.) Quotientenkriterium

2.) Formel für Konvergenzradius von Potenzreihen (stammend vom Quotientenkriterium)

02.03.2009, 16:40

wergor

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Zitat:

Original von Musti
Bei Potenzreihen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~c_n(x-a)^n \end{eqnarray*}$

wird in der Quotientenformel der Koeffizient $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ untersucht.
Da steckt mit Sicherheit kein x drinn.

das habe ich gar nicht gewusst Big Laugh

Big Laugh

mein problem wäre damit gelöst.

danke,
mfg

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