komisches Integral

02.02.2009, 21:20

forman

komisches Integral

Guten Abend,

Ich habe mich immer gewundert warum die Normalverteilung nur als Dichte angegeben wird und nie als Verteilungsfunktion, ich wollte die Dichte integrieren, um die Verteilungfunktion zu bekommen und dadurch bin ich auf dieses Integral gestoßen. In meiner Formelsammlung steht das:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty }^{0}e^{{-x}^2}dx=\int_{0 }^{\infty}e^{{-x}^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2} \end{eqnarray*}$

Hat jemand eine Idee woher dies kommt und wie kann ich es berechnen. Und zurück ber der Normalverteilung, warum ist die mathematische Formel der Verteilungsfunktion nirgendwo zu finden?

Danke !

02.02.2009, 22:02

JustPassingBy

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Also das $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ kommt folgenermaßen zustande (grobe Skizze).

Zuerst kann man erkenne, dass die Funktion gerade ist, d.h. $\begin{eqnarray*} f(-x)=-f(x) \end{eqnarray*}$ .

Also ist $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty }^{\infty}e^{{-x}^2}dx = 2 \int_{-\infty }^{0}e^{{-x}^2}dx \end{eqnarray*}$ .

Logischerweise ist $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty }^{\infty}e^{{-x}^2}dx = \sqrt{(\int_{-\infty }^{\infty}e^{{-x}^2}dx)^2} \end{eqnarray*}$ .

Allerdings ist $\begin{eqnarray*} (\int_{-\infty }^{\infty}e^{{-x}^2}dx)^2 = \int_{-\infty }^{\infty}e^{{-x}^2}dx \int_{-\infty }^{\infty}e^{{-x}^2}dy \int_{-\infty }^{\infty}e^{{-(x^2+y^2)}}dxdy \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man im letzten Term Polarkoordinaten einführen, $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = r^2 \end{eqnarray*}$ , und man rechnet im Endeffekt solange weiter, bis man das Endergebnis hat.
(Dadurch bekommt man auch das $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ .

Warum die Formel der Verteillungsfunktion nirgendswo zu finden ist, weiß ich nicht.
Allerdings sind Verteilungsfunktionen generell nicht so wichtig.
Vielleicht lässt sich das Integral nicht einfach lösen, oder es lässt sich einfach lösen (hab keine Integraltafel zur Hand).

02.02.2009, 22:14

forman

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Zitat:

Original von JustPassingBy
Also das $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ kommt folgenermaßen zustande (grobe Skizze).

Zuerst kann man erkenne, dass die Funktion gerade ist, d.h. $\begin{eqnarray*} f(-x)=-f(x) \end{eqnarray*}$ .

Also ist $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty }^{\infty}e^{{-x}^2}dx = 2 \int_{-\infty }^{0}e^{{-x}^2}dx \end{eqnarray*}$ .

Logischerweise ist $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty }^{\infty}e^{{-x}^2}dx = \sqrt{(\int_{-\infty }^{\infty}e^{{-x}^2}dx)^2} \end{eqnarray*}$ .

Allerdings ist $\begin{eqnarray*} (\int_{-\infty }^{\infty}e^{{-x}^2}dx)^2 = \int_{-\infty }^{\infty}e^{{-x}^2}dx \int_{-\infty }^{\infty}e^{{-x}^2}dy \int_{-\infty }^{\infty}e^{{-(x^2+y^2)}}dxdy \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man im letzten Term Polarkoordinaten einführen, $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = r^2 \end{eqnarray*}$ , und man rechnet im Endeffekt solange weiter, bis man das Endergebnis hat.
(Dadurch bekommt man auch das $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ .

Warum die Formel der Verteillungsfunktion nirgendswo zu finden ist, weiß ich nicht.
Allerdings sind Verteilungsfunktionen generell nicht so wichtig.
Vielleicht lässt sich das Integral nicht einfach lösen, oder es lässt sich einfach lösen (hab keine Integraltafel zur Hand).

Vielen Dank JustPassingBy,

eine Frage noch geht das nach Formel oder wie kommst du dadrauf?

$\begin{eqnarray*} (\int_{-\infty }^{\infty}e^{{-x}^2}dx)^2 = \int_{-\infty }^{\infty}e^{{-x}^2}dx \int_{-\infty }^{\infty}e^{{-x}^2}dy \int_{-\infty }^{\infty}e^{{-(x^2+y^2)}}dxdy \end{eqnarray*}$

So was sehe ich zum ersten mal, ich bin nie auf die Idee gekommen ein Integral zu potenzieren.

Gruß

02.02.2009, 22:18

JustPassingBy

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Ich bin darauf gekommen, weil ich den Beweis kenne.

Aber frag mich nicht, was der Kerl gegessen oder getrunken haben muss, der zuerst darauf gekommen ist. ^^

Hm, ich hab anscheinend bei Latex einige Fehler gemacht, ich korriegiere das mal:

$\begin{eqnarray*} (\int_{-\infty }^{\infty}e^{{-x}^2}dx)^2 \\= \int_{-\infty }^{\infty}e^{{-x}^2}dx \int_{-\infty }^{\infty}e^{{-x}^2}dx \\ = \int_{-\infty }^{\infty}e^{{-x}^2}dx \int_{-\infty }^{\infty}e^{{-y}^2}dy \\ = \int_{-\infty }^{\infty}e^{{-(x^2+y^2)}}dxdy \end{eqnarray*}$

02.02.2009, 22:23

forman

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Ach so, du hast mich beruhigt ich dachte dies ist so eine Art Standart-Transformation. smile