Grenzwerte- einige Fragen

02.02.2009, 23:25

uPPer

Grenzwerte- einige Fragen

Hallo,

1. Kann man sagen - so wie mein Tascheinrechner - , dass $\begin{eqnarray*} \frac{5}{ \sqrt{x+4}} \to \infty \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \to - \infty \end{eqnarray*}$ ? Ich würde meinen, dass dieser Grenzwert gar nicht existiert, da der Radikand nicht-negativ sein muss.

2. Warum ist $\begin{eqnarray*} \frac{5x^2 - 1}{2x - 4} \to - \infty \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \to - \infty \end{eqnarray*}$ , warum ausgerechnet negativ?

Ist nicht eher $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{k\to - \infty} \frac{5x^2 - 1}{2x - 4} = \lim\limits_{k\to - \infty} \frac { 5- \frac{1}{x^2}} { \frac {2}{x} - \frac {4}{x^2}} \end{eqnarray*}$ und wegen $\begin{eqnarray*} \frac {2}{x} - \frac {4}{x^2} \to 0 \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \frac{5x^2 - 1}{2x - 4} \to \infty \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \to - \infty \end{eqnarray*}$ , also positiv?

3. Wenn der Term im ersten Satz bei 2. nicht stimmt: Kann es sein, dass eine Funktion f, die gegen +unendlich geht für x gegen +unendlich, auch gegen -unendlich geht für x gegen -unendlich?

Ich freue mich auf eure Antworten!

02.02.2009, 23:27

uPPer

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Edit: Sorry, bei 1. sollte es natürlich heißen: $\begin{eqnarray*} \frac{5}{ \sqrt{x+4}} \to 0 \end{eqnarray*}$

03.02.2009, 08:45

eierkopf1

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RE: Grenzwerte- einige Fragen
1. Du meinst: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{5}{ \sqrt{x+4}} =0 \end{eqnarray*}$ und das stimmt, da es eine Nullfolge ist. Die Wurzel "bremst" das Wachsen des Nenners im Vergleich zu einer linearen Funktion etwas, ändert hier aber nichts am Grenzwert.

EDIT: Habe überlesen, dass x gegen "Minus-Unendlich" gehen soll.

2. Es läuft schon x gegen "unendlich" und nicht k, oder?
Wenn du zB x=-10 einsetzt, dann siehst du sofort, dass es negativ ist, da durch das x² immer eine positive Zahl ergibt und dann nur mehr ein x¹ überbleibt und das bei negativen Werten natürlich auch negativ ist.

03.02.2009, 09:10

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Zitat:

Original von uPPer
Ich würde meinen, dass dieser Grenzwert gar nicht existiert, da der Radikand nicht-negativ sein muss.

Kommt drauf an: Als reelle Funktion betrachtet ist $\begin{eqnarray*} \frac{5}{ \sqrt{x+4}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\leq -4 \end{eqnarray*}$ nicht definiert, womit eine Grenzwertbildung $\begin{eqnarray*} x\to -\infty \end{eqnarray*}$ keinen Sinn macht.

Als komplexe Funktion hingegen kommt das mit Grenzwert 0 durchaus hin - möglicherweise war dein TR so schlau, das zu erkennen. Augenzwinkern

Zitat:

Original von uPPer
$\begin{eqnarray*} \frac {2}{x} - \frac {4}{x^2} \to 0 \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \frac{5x^2 - 1}{2x - 4} \to \infty \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \to - \infty \end{eqnarray*}$

Wie kommst du denn auf diesen Schluss? Der ist falsch. unglücklich

Richtig begründet ist

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to -\infty} \frac{5x^2-1}{2x-4} = \lim\limits_{x\to -\infty} x\cdot\frac{5-\frac{1}{x^2}}{2-\frac{4}{x}} \end{eqnarray*}$

Offenbar ist $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to -\infty} \frac{5-\frac{1}{x^2}}{2-\frac{4}{x}} = \frac{5}{2} > 0 \end{eqnarray*}$ , was mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ multipliziert beim Grenzübergang $\begin{eqnarray*} x\to -\infty \end{eqnarray*}$ die bestimmte Divergenz gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ zur Folge hat.

03.02.2009, 12:51

uPPer

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Ok, vielen Dank bis hier hin!

Nächsten Fragen:

4. Was mache ich hier? $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sin^2 x +1 } = \frac { \frac {1}{x}} {\frac {\sin^2 x}{x} + \frac {1}{x}} \end{eqnarray*}$ ; nun gehen sowohl Zähler, als auch Nenner gegen Null. Ist dann wirklich $\begin{eqnarray*} \lim =\frac {0}{0} \end{eqnarray*}$ , und wenn ja, ergibt das dann Null oder Unendlich?

5. Ist die Folge $\begin{eqnarray*} a_n = (1+ (-1)^n ) \cdot n \end{eqnarray*}$ divergent?
Also ich würde sagen, nein, da sie nicht monoton steigend ist.

6. Kann man sagen, dass eine Folge zugleich gegen $\begin{eqnarray*} + \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$ divergiert?

7. Gehe ich richtig in der Annahme - wie eigentlich bei 5. vorausgesetzt - dass jede über alle Schranken gehende Folge monoton steigend ist?

Ich freue mich wieder auf eure Hilfe!

03.02.2009, 13:07

klarsoweit

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Zitat:

Original von uPPer
4. Was mache ich hier? $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sin^2 x +1 } = \frac { \frac {1}{x}} {\frac {\sin^2 x}{x} + \frac {1}{x}} \end{eqnarray*}$ ; nun gehen sowohl Zähler, als auch Nenner gegen Null. Ist dann wirklich $\begin{eqnarray*} \lim =\frac {0}{0} \end{eqnarray*}$ , und wenn ja, ergibt das dann Null oder Unendlich?

Der Bruch 0/0 ist nicht definiert. Als Ergebnis (wenn man überhaupt davon reden kann) ist von minus unendlich bis plus unendlich alles möglich. gegen was soll überhaupt das x gehen?

Zitat:

Original von uPPer
5. Ist die Folge $\begin{eqnarray*} a_n = (1+ (-1)^n ) \cdot n \end{eqnarray*}$ divergent?
Also ich würde sagen, nein, da sie nicht monoton steigend ist.

Auch nicht monoton steigende Funktionen können divergent sein. Das eine hat mit dem anderen nichts zu tun.

Zitat:

Original von uPPer
6. Kann man sagen, dass eine Folge zugleich gegen $\begin{eqnarray*} + \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$ divergiert?

In dieser Situation würde man einfach nur sagen, daß die Folge divergiert.

Zitat:

Original von uPPer
7. Gehe ich richtig in der Annahme - wie eigentlich bei 5. vorausgesetzt - dass jede über alle Schranken gehende Folge monoton steigend ist?

Nö.

03.02.2009, 14:00

uPPer

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Ok, das heißt $\begin{eqnarray*} a_n = (1+ (-1)^n ) \cdot n \end{eqnarray*}$ ist divergent ?

Zitat:

4. Was mache ich hier? $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sin^2 x +1 } = \frac { \frac {1}{x}} {\frac {\sin^2 x}{x} + \frac {1}{x}} \end{eqnarray*}$ ; nun gehen sowohl Zähler, als auch Nenner gegen Null. Ist dann wirklich $\begin{eqnarray*} \lim =\frac {0}{0} \end{eqnarray*}$ , und wenn ja, ergibt das dann Null oder Unendlich? Der Bruch 0/0 ist nicht definiert. Als Ergebnis (wenn man überhaupt davon reden kann) ist von minus unendlich bis plus unendlich alles möglich. gegen was soll überhaupt das x gehen?

x gegen unendlich

03.02.2009, 15:34

klarsoweit

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Zitat:

Original von uPPer
Ok, das heißt $\begin{eqnarray*} a_n = (1+ (-1)^n ) \cdot n \end{eqnarray*}$ ist divergent ?

Ja.

Bei Aufgabe 4 mußt du dir das Konvergenzverhalten des Nenners anschauen.

03.02.2009, 19:07

uPPer

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Zitat:

Original von klarsoweit
Bei Aufgabe 4 mußt du dir das Konvergenzverhalten des Nenners anschauen.

Nenner geht gegen Null, ebenso wie Zähler. Grenzwert daher $\begin{eqnarray*} \frac {0}{0} \end{eqnarray*}$ ?

03.02.2009, 19:15

eierkopf1

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Nein, da "Null durch Null" ein unbestimmter Ausdruck ist: unbestimmter Ausdruck

03.02.2009, 20:45

uPPer

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Ahhhh, sehr gut zu wissen ...

03.02.2009, 20:54

Q-fLaDeN

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Warum teilst du bei dieser Aufgabe überhaupt durch x? verwirrt

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty }\frac{1}{\sin^2 x +1 } \end{eqnarray*}$

Wie kommst du darauf, dass dann $\begin{eqnarray*} \frac 0 0 \end{eqnarray*}$ entsteht?

Die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = \sin x \end{eqnarray*}$ schwankt für $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$ immer zwischen -1 und 1. Was macht demnach $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \sin^2 x \end{eqnarray*}$ ?
Den Tipp hat klarsoweit ja schon gegeben.

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