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\documentclass{report}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{ngerman}
\usepackage{amssymb}
\begin{document}
Titelblatt folgt \pagebreak[4]
\tableofcontents \pagebreak[4]
\chapter{Vorwort}
to be continiued. \pagebreak[4]
\chapter{Einleitung}
To be continiued. \pagebreak[4]
\chapter{Grundlegende Definitionen}
\section{Definition einer Folge}

Man unterscheidet grundsätzlich zwischen endlichen und unendlichen
Folgen. Eine Folge ist eine Abbildung f, bei der die
Definitionsmenge $\mathbb N$  auf der Wertemenge \textit{M}
abgebildet wird.

F"ur unendliche Folgen gilt:

\begin{displaymath}
\mathbf{X} : \left\{ \begin{array}{c}
a\\
b
\end{array} \right\}
\end{displaymath}

F"ur endliche Folgen gilt:

\begin{displaymath}
\mathbf{X} : \left\{ \begin{array}{c}
a\\
b
\end{array} \right\}
\end{displaymath}

Statt \( f(n) \) benutzt man bei Folgen die Schreibweise \(
(a_{n})_{n}\). Man bezeichnet die Zahl \( n\in\mathbb N \) als Index
der Folge.
\section{Die Wertemenge einer Folge}

Bei Folgen ist es wichtig, sorgfältig die Folge \((a_{1}, a_{2},
a_{3}, \ldots)\) von ihrer Wertemenge \(\{a_{1}, a_{2}, a_{3},
\ldots\}\) zu unterscheiden, da die Reihenfolge bei Folgen eine
entscheidende Rolle spielt.

\begin{tabbing}\textbf{Beispiel: }\=Folge: \(a_{n}=(-1)^{n}=(1,-1,1,-1,\ldots)\)\\
\>Wertemenge: \(\{1,-1\}\)\end{tabbing}

\section{Definitionen von Folgen}

Man kann Folgen u.\,a.\ rekursiv oder explizit definieren.
\subsection{Explizit definierte Folgen}

Bei einer explizit definierten Folge erhält man ein beliebiges
Folgenglied sofort aus der Folgenvorschrift.

\begin{tabbing}\textbf{Beispiel: }\=\(a_{n}=\frac{1}{n}\)\\
\> Daraus kann man nun schnell das z.B. \(7.\) Folgenglied
berechnen:\\
\>\(a_{7}=\frac{1}{7}\)
\end{tabbing}
\subsection{Rekursiv definierte Folgen}
Bei einer rekursiv definierten Folge berechnet man \(a_{n}\) mit
Hilfe einer Rekursionsvorschrift aus den vorigen Gliedern. Der
Nachteil dieser Definitionsart ist, dass man zun"achst die vorigen
Glieder berechnen muss, um \(a_{n}\) bestimmen zu k"onnen.
\begin{tabbing}\textbf{Beispiel: }\=\(a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1}\)\\
\>\((a_{n})_{n}=(1,1,2,3,5,8,13,21,\ldots)\)\\
\>Dies ist die Fibonacci- Folge
\end{tabbing}

\section{Arithmetische Folgen}
Eine arithmetische Folge hat die Form: \(a_{n}=a_{0}+d(n-1)\), wobei
\(a_{0}\) und \(d\) zwei reele Konstanten sind.\\\textbf{Beispiel: }
\(a_{n}=12+7(n-1)\)

\section{Geometrische Folgen}
Eine geometrische Folge hat die Form: \(a_{n}=a_{0}q^{n-1}\), wobei
\(a_{0}\) und \(d\) zwei reele Konstanten sind.\\ \textbf{Beispiel:
} \(a_{n}=12\cdot7^{n-1}\)

\section{Summe einer endlichen arithmetischen Folge}
Die Summe \(S_{n}\) einer endlichen, arithmetischen Folge lässt sich
folgenderma"sen berechnen:

\begin{enumerate}
\item\(S_{n}= \frac{n}{2}(a_{0}+a_{n})\)
\item\(S_{n}= \frac{n}{2}(2a_{0}+d(n-1))\)
\end{enumerate}

\begin{tabbing}\textbf{Beweis: }\=Gegeben sei eine Folge mit der
Summe \(S_{n}:\)\\
\>\(a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{n-1}+a_{n}=S_{n}\)\\

\>Wir ordnen die Folgeglieder derart um, dass das gr"o"ste Glied am
Anfang steht und das kleinste am Ende:\\
\>\(a_{n}+a_{n-1}+\ldots+a_{3}+a_{2}+a_{1}=S_{n}\)\\

\>Wir addieren beide Gleichungen:\\
\>folgt\\
\>folgt\\
\>folgt\\
\>Wir zeigen, dass alle Klammerinhalte den gleichen Wert haben. Es
muss also für beliebige Indizes \(u, v\in\mathbb N\) mit \(u+v=n+1\)
gelten:\\
\>\(a_{u}+a_{v}=a_{u+1}+a_{v+1}\)\\
\>Aufgrund der Definition \(a_{n}=a_{0}+d(n-1)\) folgt\\
\>\(a_{0}+d(u-1)+a_{0}+d(v-1)=a_{0}+d(u+1-1)+a_{0}+d(v-1-1)\)\\
\(\Leftrightarrow\)\>\(a_{0}+du-d+a_{0}+dv-d=a_{0}+du+a_{0}+dv-2d\)\\
\(\Leftrightarrow\)\>\(0=0\)\\
\>Da es \(n\) dieser Klammern gibt und diese alle denselben Wert
haben, folgt:\\
\>\(n(a_{1}+a_{n})=2S_{n}\)\\
\(\Leftrightarrow\)\>\(S_{n}= \frac{n}{2}(a_{0}+a_{n})\)\\
\>Um die zweite Formel abzuleiten, setzt man in der ersten Gleichung
laut Definition \(a_{n}=a_{0}+d(n-1)\) und man erh"alt:\\
\>\(\frac{n}{2}(2a_{0}+d(n-1))\)
\end{tabbing}
\section{Summe einer endlichen geometrischen Folge}
Die Summe einer endlichen, geometrischen Folge l"asst sich wie folgt
berechnen: \(S_{n}=a_{0}\frac{1-q^{n}}{1-q}\)
\begin{tabbing}\textbf{Beweis: }\=folgt\\
\end{tabbing}
\section{Monotonie}
\begin{enumerate}
\item Eine Folge ist monoton steigend, wenn gilt: \(\forall n \in \mathbb N: a_{n}\leqslant a_{n+1}\);
\item Eine Folge ist monoton fallend, wenn gilt: \(\forall n \in \mathbb N: a_{n}\geqslant a_{n+1}\);
\item Eine Folge ist streng monoton steigend, wenn gilt: \(\forall n \in \mathbb N: a_{n}< a_{n+1}\);
\item Eine Folge ist streng monoton fallend, wenn gilt: \(\forall n \in \mathbb N: a_{n}> a_{n+1}\);
\end{enumerate}
\textbf{Beispiel zu 1.): } \(a_{n}=n^{2}+n(-1)^{n}\), mit
\(a_{1}=0,a_{2}=6,a_{3}=6,a_{4}=20,\ldots\)
\begin{tabbing}
\textbf{Beweis}:
\=\(n^{2}+n(-1)^{n}\leq((n+1)^{2}+(n+1)(-1)^{n+1}\)\\
\(\Leftrightarrow\)\>\(n^{2}\leq
n^{2}+2n+1+(n+1)(-1)^{n+1}-n(-1)^{n}\)\\
\(\Leftrightarrow\)\>\(-2n-1\leq(n+1)(-1)^{n+1}-n(-1)^{n}\)\\
\>Nun gibt es zwei m"ogliche F"alle:\\
\>\textbf{1. Fall:} \=\((-1)^{n+1}=1\Leftrightarrow -n(-1)^{n}>0\)\\
\>\>Die rechte Seite der Ungleichung in ... ist somit stehts positiv
und die Ungleichung somit korrekt\\
\>\textbf{2. Fall:} \=\((-1)^{n+1}=-1\Leftrightarrow -n(-1)^{n}<0\)\\
\>\>In diesem Fall erh"alt man folgende Ersatzgleichung:\\
\>\>\(-2n-1\leq-(n+1)-n\)\\
\>\(\Leftrightarrow\)\>\(-2n-1\leq-2n-1\)\\
\>\>Daher stimmt auch die zweite Ungleichung und somit ist die
steigende
Monotonie bewiesen\\
\end{tabbing}
\textbf{Beispiel zu 2.): }\(a_{n}=100-[ \sum_{j=1}^{n}{\frac{1}{j}}
]\)mit \(a_{1}=99,a_{2}=99,a_{3}=98,\ldots\)\\
\textbf{Beispiel zu 3.): }\(a_{n}=\sum_{j=1}^{n}{\frac{1}{j}}\)  mit
\(a_{1}=\frac{1}{1},a_{2}=\frac{3}{2},a_{3}=\frac{5}{3},\ldots\)\\
\textbf{Beispiel zu 4.): }\(a_{n}=\frac{1}{n}\)  mit
\(a_{1}=\frac{1}{1},a_{2}=\frac{1}{2},a_{3}=\frac{1}{3},\ldots\)
\begin{tabbing}
\textbf{Beweis}:\= Folgendes ist zu zeigen:
\(\frac{1}{n}>\frac{1}{n+1}\)\\
\>Wir gehen zun"achst von einer bestimmt wahren Aussage aus:\\
\>\(1>0\)\\
\(\Leftrightarrow\)\>\(n+1>n\)\\
\(\Leftrightarrow\)\>\(\frac{1}{n}>\frac{1}{n+1}\)\\
\>Die Folge ist daher streng monoton fallend.
\end{tabbing}


\end{document}

1:

\section{Definition der \protect\(\epsilon\protect\)- Umgebung}

1:

\usepackage{fixltx2e}

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:

\begin{equation}
f:
\begin{cases}
{1,2,\ldots, n} & \rightarrow M \\
n & \rightarrow a_{n}
\end{cases}
\end{equation}

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:

\begin{equation}
f:
\begin{cases}
{1,2,\ldots, n} & \rightarrow & M \\
n & \rightarrow & a_{n}
\end{cases}
\end{equation}

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:

\makeatletter
\renewcommand*\env@cases[1][l]{%
  \let\@ifnextchar\new@ifnextchar
  \left\lbrace
  \def\arraystretch{1.2}%
  \array{@{}#1@{\quad}#1@{}}%
}
\makeatother

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:

\begin{equation}
f:
\begin{cases}[c]
1,2,\ldots, n & \rightarrow\quad M \\
n & \rightarrow\quad a_{n}
\end{cases}
\end{equation}

1:

\usepackage[left=2.5cm,right=2.5cm]{geometry}

1:
2:

\chapter*{Einleitung} %Überschrift ohne Nummer
\addcontentsline{toc}{chapter}{Einleitung} %Eintrag ins Inhaltsverzeichnis

1:

\int{~x~\mathrm dx}=\left.\left[\frac{x^{2}}{2}\right]\right|

1:

\renewcommand*\arraystretch{1.4}

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:

\documentclass{scrartcl}
\usepackage{cellspace}
\addtolength\cellspacetoplimit{3pt}
\addtolength\cellspacebottomlimit{3pt}
\begin{document}
\begin{tabular}{Sc}\hline
$f(x)=\frac{\sqrt{x2-1}}{x2+1}$\\\hline
$f(x)=\frac{\sqrt{x2-1}}{x2+\frac{1}{x2}}$\\\hline
\end{tabular}
\end{document}