Unbestimmtes Integral

03.02.2009, 20:06	Metaphysika	Auf diesen Beitrag antworten »
Unbestimmtes Integral hallo , ich muss folgendes unbestimmte Integral berechnen, ich weiß auch die lösung, aber leider nicht den Rechenweg.... $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~ \frac{1}{(a^2+x^2)^2}~dx \end{eqnarray}$ Da ich Substitution und partielle Integration gerade erst gelernt habe, bin ich wohl noch ein wenig blind dafür, wie man am besten damit umgeht. ich habe schon einiges versucht, bin aber leider immer stecken geblieben... Es wäre sehr nett, wenn jemand einen Tipp für mich hätte, wie ich das am besten anpacke LG Metaphysika
03.02.2009, 21:07	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unbestimmtes Integral Eine Möglichkeit ist zunächst Partialbruchzerlegung: $\begin{eqnarray} \frac{1}{(a^2+x^2)^2} = \frac{A}{(x - ia)} + \frac{B}{(x - ia)^2} + \frac{C}{(x + ia)} + \frac{D}{(x + ia)^2} \end{eqnarray}$ Danach kannst du ggf. integrieren und zusammenfassen. Oder du versuchst wie folgt weiterzukommen: $\begin{eqnarray} \frac{1}{(a^2+x^2)^2} = \frac{a^2 + x^2 - x^2}{a^2 \cdot (a^2+x^2)^2} = \frac{1}{a^2 \cdot (a^2+x^2)} - \frac{x^2}{a^2 \cdot (a^2+x^2)^2} \end{eqnarray}$ Grüße Abakus
03.02.2009, 21:30	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Weg übers Komplexe kann man vermeiden. Zunächst eine kleine Schönheitsoperation, die Substitution $\begin{eqnarray} x = at \end{eqnarray}$ Nachdem man den Faktor $\begin{eqnarray} \frac{1}{a^3} \end{eqnarray}$ vors Integral gezogen hat, verbleibt noch $\begin{eqnarray} \int \frac{\dd t}{\left( 1 + t^2 \right)^2} \end{eqnarray}$ Und jetzt hilft der folgende Trick weiter: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\left( 1+ t^2 \right)^2} = \frac{1 + t^2}{\left( 1 + t^2 \right)^2} - \frac{t^2}{\left( 1 + t^2 \right)^2} = \frac{1}{1 + t^2} - \frac{1}{2} t \cdot \frac{2t}{\left( 1 + t^2 \right)^2} \end{eqnarray}$ Der erste Summand ist problemlos, beim zweiten hilft partielle Integration. Beginne diese mit einer Stammfunktion des Bruchs. Entweder siehst du sie direkt oder du findest sie mit einer passenden Substitution.
03.02.2009, 22:06	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Für noch höhere Potenzen kann man Schritt für Schritt partiell hinabsteigen, auch alles reell: Partialbruchzerlegung
04.02.2009, 19:59	Metaphysika	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, vielen Dank für die Hilfe- ich hab es verstanden und das richtige Ergenis rausgekriegt... LG Metaphysika

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