Exponentialgleichung

03.02.2009, 20:06

chocolate4ever

Exponentialgleichung

Hallo ihr Lieben!
Nach längerer Zeit melde ich mich mal wieder mit einem Problem.

Wir machn im moment in der Schule Exponentialgleichungen.
Ich habe nun eine Aufgabe als Hausaufgabe, die ich nicht lösen kann:

$\begin{eqnarray*} 3^{x+1} +3^x= 2^(x+2) \end{eqnarray*}$

und so hab ich weiter gemacht:

$\begin{eqnarray*} 3^x \cdot 3 + 3^x - 2^x \cdot 2^2 \end{eqnarray*}$

ja und jetzt komm ich einfach nicht mehr weiter. was muss ich denn jetzt machen? ich habe ja nicht die gleiche basis.

ich würde mich über eure hilfe sehr freuen.

liebe Grüße

chocolate

03.02.2009, 20:18

Q-fLaDeN

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Teile auf beiden Seiten durch $\begin{eqnarray*} 2^x \end{eqnarray*}$ und klammere dann $\begin{eqnarray*} (\frac{3}{2})^x \end{eqnarray*}$ aus.

03.02.2009, 20:20

chocolate4ever

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oh mist. das auf der rechten seite müsste
$\begin{eqnarray*} 2^ {x+2} \end{eqnarray*}$

heißen. kann ich das dann trotzdem so machen wie du sagtest?

EDIT: und bei der zweiten zeile rechts nachm = 0

03.02.2009, 20:26

Q-fLaDeN

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Ja, das war mir schon klar, dass das $\begin{eqnarray*} 2^ {x+2} \end{eqnarray*}$ heißt Augenzwinkern

Die angesprochenen Umformungen sollst du auf diese Gleichung anwenden:

$\begin{eqnarray*} 3^x \cdot 3 + 3^x = 2^x \cdot 2^2 \end{eqnarray*}$

\Edit:

Achja, falls dus nicht wusstest. Du kannst natürlich auch erst die linke Seite zusammenfassen (bzw. $\begin{eqnarray*} 3^x \end{eqnarray*}$ ausklammern) und dann erst durch $\begin{eqnarray*} 2^x \end{eqnarray*}$ teilen.

03.02.2009, 20:36

chocolate4ever

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dann is doch die nächste zeile:

$\begin{eqnarray*} (\frac{3}{2})^x \cdot (\frac{3}{2})^x + (\frac{3}{2})^x= 1\cdot \frac{2^2}{2^x} \end{eqnarray*}$

ieinen fehler hab ich doch sicher gemacht oder?

EDIT: oh dann schaut das so aus?

$\begin{eqnarray*} 3^x (3+1)= 2^x \cdot 2^x \end{eqnarray*}$

03.02.2009, 20:47

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von chocolate4ever
$\begin{eqnarray*} (\frac{3}{2})^x \cdot (\frac{3}{2})^x + (\frac{3}{2})^x= 1\cdot \frac{2^2}{2^x} \end{eqnarray*}$

Wie du darauf kommst, ist mir ein Rätsel verwirrt

Zitat:

Original von chocolate4ever
$\begin{eqnarray*} 3^x (3+1)= 2^x \cdot 2^x \end{eqnarray*}$

Fast.

$\begin{eqnarray*} 3^x (3+1)= 2^x \cdot 2^2 \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} 4 \cdot 3^x= 2^x \cdot 4 \end{eqnarray*}$

Den Rest schaffst du dann auch gar.

03.02.2009, 21:13

chocolate4ever

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nein äh irgendwie nicht.
ich steh grade komplett aufm schlauch. ich tu mir im mom mit exponentialgleichungen total schwer. wenn meine dämliche mathelehrerin mich nicht so hassen würde, würde ich ja sie morgen fragen. aba die macht mich nur wieder runter und stellt mich als komplett doof dar.

03.02.2009, 21:33

Q-fLaDeN

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Jetzt ist es doch fast trivial? verwirrt

Erstmal kannst du durch 4 teilen:

$\begin{eqnarray*} 3^x= 2^x \end{eqnarray*}$

Dann den $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ anwenden:

$\begin{eqnarray*} x \cdot \ln 3 = x \cdot \ln 2 \end{eqnarray*}$

Und den Rest noch ein klein wenig umstellen, falls du die Lösung(en) noch nicht ablesen kannst.

03.02.2009, 21:41

chocolate4ever

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wenn du jetzt noch sagen würdest, was ln ist dann wäre ich um einen begriff schlauer. ist das so was ähnliches wie log?

EDIT: sry für meine unwissenheit. ich treib dich wahrscheinlich grad zur verzweiflung damit.

03.02.2009, 22:56

Gualtiero

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RE: Exponentialgleichung
@chocolate4ever
$\begin{eqnarray*} ln \end{eqnarray*}$ ist in der Mathematik allgemein die Abkürzung für den natürlichen Logaritmus. Er hat $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ (oder Euler'sche Zahl) als Basis.
Aber Q-fLaDeN hätte auch jeden anderen Logaritmus nehmen können, sein Kunstgriff hat nur dazu gedient, die Hochzahlen wegzubringen und zwei "bequeme" Ausdrücke zu erhalten, mit denen Du besser rechnen kannst. Diesen Vorgang nennt man Logarithmieren.

Gualtiero

03.02.2009, 23:02

mYthos

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$\begin{eqnarray*} 3^x = 2^x \end{eqnarray*}$

Dazu ist kein Logarithmus nötig! (Ja, ln ist auch ein Logarithmus, dessen Basis ist die Euler'sche Zahl e).

Dividiere beide Seiten durch $\begin{eqnarray*} 2^x \end{eqnarray*}$ (durch $\begin{eqnarray*} 3^x \end{eqnarray*}$ ginge es auch):

$\begin{eqnarray*} \frac{3^x}{2^x} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\frac{3}{2})^x = (\frac{3}{2})^0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ .. weil die Basen gleich sind, muss auch der Exponent gleich sein.

Wir erkennen also, dass bei einer Exponentialgleichung vom Typ

$\begin{eqnarray*} a^{f(x)} = b^{f(x)} \ \ \text{ mit } a \neq b \end{eqnarray*}$

folgt: $\begin{eqnarray*} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$

Sind bei diesem Gleichungstyp die Basen ungleich und der Exponent gleich, so muss der Exponent gleich Null sein.

mY+

03.02.2009, 23:39

Gualtiero

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RE: Exponentialgleichung
@Mythos
Deine Erklärungen sind wie immer umfassend und korrekt bis ins Letzte. Aber könnte man in diesem Fall auch Q-fLaDeNs Weg weiterverfolgen?

$\begin{eqnarray*} x*ln3=x*ln2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x*ln3-x*ln2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x*(ln3-ln2)=0 \end{eqnarray*}$

Ein Produkt aus zwei Faktoren ist dann Null, wenn mindestens einer der beiden Faktoren Null ist.

$\begin{eqnarray*} (ln3 - ln2)\neq 0 \Rightarrow x=0 \end{eqnarray*}$

Gruß
Gualtiero

04.02.2009, 06:40

Q-fLaDeN

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@Gualtiero

Ja, so hatte ich das gedacht.

@chocolate4ever
Nein, du treibst mich nicht zur Verzweiflung. Ist doch kein Problem wenn man nicht alles auf anhieb versteht.

Der Weg von mYthos ist natürlich eleganter, ich dachte nur, dass ihr das "logarithmieren" im Zusammenhang mit Exponentialgleichungen schon kennengelernt habt.

04.02.2009, 13:19

mYthos

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@Gualtiero & @Q-flaDeN

Selbstverständlich sind eure Erklärungen vollkommen korrekt und dieser Weg auch schön gangbar. Die Sache mit dem Null setzen des Exponenten wäre dann weiterzuverfolgen, wenn die Methode des Logarithmierens noch nicht zum Kenntnisstand des Schülers gehören sollte. Und diesen Eindruck hatte ich nach dem letzten Post von chocolate4ever.

mY+

09.02.2009, 18:17

chocolate4ever

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danke euch allen. auch wenn meine antwort erst sehr spät kommt, möcht ih mich doch recht herzlich bedanken.

zum letzten Post von Mythos:
also eigentlich haben wir in der Schule schon logarithmiert nur habe ich etwa ne Woche auf Grund von Krankheit gefehlt. ja und deshalb häng ich einbisschen.

Danke für eure Lösungen!

und ln hatte ich noch nicht. das kommt irgendwann ende des Jahres oder im nächsten Jahr.

ganz liebe grüße

chocolate

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