Gemeinsame Dichten unabh. ZV

03.02.2009, 21:29

Fletcher

Gemeinsame Dichten unabh. ZV

Guten Abend,

ich habe in dieser Woche eine Klausur und ich hoffe, dass ihr mir bei diesem kleinen Problem behilflich sein könnet. Es geht um Folgendes: Seien $\begin{eqnarray*} X, Y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ unabhängige Zufallsvariablen mit Dichten $\begin{eqnarray*} f_X,f_Y,f_Z \end{eqnarray*}$ . Ziel von mir ist es die bedingten Dichten auszurechnen, dazu brauche ich aber zunächst mal die gemeinsame Dichte. Das ist in dem Fall X, X+Y kein Problem, da erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} f_{X,X+Y}(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y-x) \end{eqnarray*}$

Fälle, die nicht besprochen wurden, mich aber dennoch interessieren sind nun folgende:

$\begin{eqnarray*} f_{X,X-Y} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{X,X+Y+Z} \end{eqnarray*}$

Kann mir bitte jemand sagen, wie ich diese Dichten am einfachsten erhalte?

Vielen Dank.

03.02.2009, 21:44

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Ich kopiere mal was aus einem mir bekannten Skript:

Zitat:

Es sei $\begin{eqnarray*} \mathbf{X} \end{eqnarray*}$ ein zufälliger Vektor auf $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal{A},P) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} g:\,\mathbb{R}^d\to \mathbb{R}^d \end{eqnarray*}$ sei Borel-messbar, dann ist $\begin{eqnarray*} \mathbf{Y}=g(\mathbf{X}) \end{eqnarray*}$ ein zufälliger Vektor auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum mit

$\begin{eqnarray*} P_{\mathbf{Y}}(B) = P_{\mathbf{X}}(g^{-1}(B)) \end{eqnarray*}$

für alle Borelmengen $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ .

Es sei nun $\begin{eqnarray*} \mathbf{X} \end{eqnarray*}$ absolutstetig mit der Dichte $\begin{eqnarray*} f_{\mathbf{X}} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ sei eineindeutig, $\begin{eqnarray*} g^{-1}=h \end{eqnarray*}$ sei die Umkehrabbildung, d.h.

$\begin{eqnarray*} \mathbf{X}=h(\mathbf{Y}) = (h_1(\mathbf{Y}),\ldots,h_d(\mathbf{Y})) \end{eqnarray*}$ .

Dann ist

$\begin{eqnarray*} P(\mathbf{X}\in A) &=& \int\limits_A ~ f_{\mathbf{X}}(x_1,\ldots,x_d) ~ \dd x_1\ldots \dd x_d\\ &=& \int\limits_{g(A)} ~ f_{\mathbf{X}}(h({y})) \cdot |J| ~ \dd y_1\ldots\,\dd y_d = P(\mathbf{Y}\in g(A)) \end{eqnarray*}$

Es gilt also für die Dichte

$\begin{eqnarray*} f_{\mathbf{Y}}(\mathbf{y}) = |J| \cdot f_{\mathbf{X}}(h(\mathbf{y})) \end{eqnarray*}$ .

Hierbei ist

$\begin{eqnarray*} J = \det\left(\left(\frac{\partial h_i(\mathbf{y})}{\partial y_j}\right)_{i,j=1,\ldots,d}\right) \end{eqnarray*}$

die sogenannte Jacobische Funktionaldeterminante.

Alle deine Beispiele fallen unter d=2 mit passenden Abbildungen $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ .

Ok, bei der letzten solltest du vorab Y+Z zusammenfassen, also erstmal $\begin{eqnarray*} f_{X,Y+Z} \end{eqnarray*}$ berechnen, um dann zu $\begin{eqnarray*} f_{X,X+Y+Z} \end{eqnarray*}$ übergehen zu können.

03.02.2009, 21:49

JustPassingBy

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Öhm, die Herleitung der gemeinsame Dichte von X und X-Y funktioniert exakt wie die Herleitung der gemeinsamen Dichte wie X und X+Y.

Und die Herleitung der gemeinsamen Dichte von X, X+Y+Z sollte eigentlich auch nicht viel anders sein, ich vermute mal, dass am Ende $\begin{eqnarray*} f_{X,X+Y+Z}(a,b)=f_X(a)\int f_Y(y)f_Z(b-a-y)dy \end{eqnarray*}$ rauskommen sollte.

04.02.2009, 09:00

Fletcher

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Vielen Dank euch,
ich dachte das mit der Funktionaldeterminante und der Dichtetransformation ist an dieser Stelle etwas überladen, da ich ja nur zwei Dichten habe in dem einen und drei in dem anderen Fall.

Heißt das nun ich erhalte für die Gemeinsame Dichte von X, X-Y:

$\begin{eqnarray*} f_{X,X-Y}=f_X(x)f_Y(y+x) \end{eqnarray*}$ ?

Gruß

04.02.2009, 10:29

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Zitat:

Original von Fletcher
ich dachte das mit der Funktionaldeterminante und der Dichtetransformation ist an dieser Stelle etwas überladen,

Kann man so sehen. Augenzwinkern

Andererseits sind die 2x2-Jacobi-Matrizen hier ja sehr. sehr einfacher Struktur und bei deinen Beispielen meistens (vielleicht sogar immer? hab jetzt nicht nachgeprüft) mit einer Determinante vom Betrag 1.

04.02.2009, 15:29

Fletcher

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Na dann bin ich ja beruhigt Augenzwinkern

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