Zur Jordan-Normalform

07.09.2006, 16:30	Jordan	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur Jordan-Normalform Hi, wenn mein Minimalpolynom in LinFaktoren zerfällt kann ich ja die JNF aufstellen. Der Eigenraum zu einem Eigenwert Lambda ist dann natürlich $\begin{eqnarray} kern(A-\lambda E) \end{eqnarray}$ . Weiter existiert ein Index k für den sich $\begin{eqnarray} kern(A-\lambda E)^k \end{eqnarray}$ nicht mehr ändert. Das ist dann der Hauptraum, und weil dieser Kern dann $\begin{eqnarray} (A-\lambda E) \end{eqnarray}$ -invariant ist, ist der Vektorraum die direkte Summe dieser Haupträume. Aber warum macht man das so? Warum potenziert man einfach die Abbildung? Was bedeuten die $\begin{eqnarray} (A-\lambda E)^i \end{eqnarray}$ für die i zwischen geometrischer Vielfachheit und k - oder sind das nur "Abfallprodukte" auf dem Weg zum Hauptraum? Also ich weiß zwar, daß man das so macht - aber micht interessiert, warum.
07.09.2006, 22:50	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt nicht "den Hauptraum" für jedes i gibt es den Hauptraum i-ter Stufe, man spricht auch von dem i-ten Hauptvektor. der erste Hauptvektor ist der Eigenvektor der zweite Hauptvektor entsprechend aus dem zweiten Hauptraum usw. Aus den ganzen Hauptvektoren bildet man dann eine Basis. (etwas laxx formuliert)
08.09.2006, 00:20	basd	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zur Jordan-Normalform Am einfachsten ist es ja wenn gilt: $\begin{eqnarray} (A-\lambda E) \end{eqnarray}$ ist Nilpotent DerWitz an der ganzen Geschichte ist ja, dass man quasi den Diagonalisierbaren Anteil für den Block des einen Eigenwerts von dem Nilpotenten Anteil trennt. Das $\begin{eqnarray} (A - \lambda E)^i \end{eqnarray}$ dient der Ermittlung der Normalform des Nilpotenten Anteils - Analog zum Fall zur Bestimmung der Normalform einer Nilpotenten Matrix. Wenn sich der $\begin{eqnarray} Kern(A-\lambda E)^k \end{eqnarray}$ nicht mehr ändert ist der NilpotenzIndex für diesen Eigenwert ermittlet. Ist der Kern ungleich Null so liegt das an einem anderen Eigenwert, dessen Nilpotent Anteil wird ensprechend mit vertauschen von Lambda ermittelt. Wenn man nun die Filtrierung durchführt kamm man Vektoren ermiteln, so dass die Eigenwerte auf der Diagonalen liegen und der zum Eigenwert Nilpotente Anteil in der Normalform auf dieser Blockmatrix liegt.

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