Wegintegral - wie kommt man auf die Grenzen?

04.02.2009, 11:13

Lichtgeschwindigkeit

Wegintegral - wie kommt man auf die Grenzen?

Es ist ganz einfach, nur der letzte Schritt ist mir unklar. Berechnet werden soll das Wegintegral $\begin{eqnarray*} \int~\vec{F}~d\vec{r} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \vec{F}=\begin{pmatrix} x+y \\ y-x \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , und zwar für die Kurve $\begin{eqnarray*} x=2u^2+u+1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y=1+u^2 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} (1,1) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} (4,2) \end{eqnarray*}$ .

Wegen $\begin{eqnarray*} d\vec{r} = \begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ kann man das Integral erstmal umschreiben zu:

$\begin{eqnarray*} I=\int_{(1,1)}^{(4,2)}~(x+y)~dx +(y-x)dy \end{eqnarray*}$

(Darf man das eigentlich immer so ausmultiplizieren?)

Nun gilt für die Kurve: $\begin{eqnarray*} \frac{dx}{du} = 4u+1 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} dx=(4u+1)dy \end{eqnarray*}$ ; und $\begin{eqnarray*} \frac{dy}{du} = 2u \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} dy=2u du \end{eqnarray*}$ . Eingesetzt in das Integral ergibt das:

$\begin{eqnarray*} I=\int_{(1,1)}^{(4,2)}~(x+y)~dx +(y-x)dy=\int_{0}^{1}~(3u^2+u+2)(4u+1)-(u^2+1)(2u))du=10 \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ .

Meine Frage: Wie kommt man auf die Integrationsgrenzen ganz am Schluss?

04.02.2009, 14:57

outSchool

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RE: Wegintegral - wie kommt man auf die Grenzen?

Zitat:

Original von Lichtgeschwindigkeit
Es ist ganz einfach, nur der letzte Schritt ist mir unklar. Berechnet werden soll das Wegintegral $\begin{eqnarray*} \int~\vec{F}~d\vec{r} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \vec{F}=\begin{pmatrix} x+y \\ y-x \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , und zwar für die Kurve $\begin{eqnarray*} x=2u^2+u+1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y=1+u^2 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} (1,1) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} (4,2) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} I=\int_{(1,1)}^{(4,2)}~(x+y)~dx +(y-x)dy=\int_{0}^{1}~(3u^2+u+2)(4u+1)-(u^2+1)(2u))du=10 \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ .

Meine Frage: Wie kommt man auf die Integrationsgrenzen ganz am Schluss?

Untere Grenze:

$\begin{eqnarray*} x=2u^2+u+1 \text{ und } y=1+u^2 \end{eqnarray*}$

Setze für x = 1 und y = 1 ein, das gibt dann:

$\begin{eqnarray*} 1=2u^2+u+1 \text{ und } 1=1+u^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u(u+1)=0 \text{ und } u^2=0 \Rightarrow u=0 \end{eqnarray*}$

Für die obere Grenze wird x = 4 und y = 2 eingesetzt. Nach Ausrechnen erhält man für u = 1.

04.02.2009, 15:29

Lichtgeschwindigkeit

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Danke!

Aber irgendwie hab ich das was glaube ich noch nicht ganz verstanden: bei einem anderen Integral mit F=(x,y,0) haben wir z.B. parametrisiert mit x=t, y=t und z=t. Wenn ich dann aber den Weg von (1,2,3) nach (4,5,6) gehen möchte, und dann die Grenzen wie oben bestimmen wollte, bekäme ich doch verschiedene Werte für t raus, was ja nicht sein kann...

Wie ist das zu verstehen?

04.02.2009, 16:15

Leopold

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Wenn ein Punkt nicht auf einem Weg liegt, kommst du auch zu keinem Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ an ihm vorbei, erst recht nicht am Anfang oder am Ende.
Das ist wie im wirklichen Leben ...

05.02.2009, 12:46

Lgeschwindigkeit

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Aber mit einer anderen Parametrisierung wäre es ja möglich. D.h., dass im Kraftfeld bestimmte Punkte eben nur durch Parametrisierungen errreichbar sind, die über diese Punkte führen? Ok, das ist logisch Augenzwinkern

. Darauf muss man beim Parametrisieren also achten...

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