Einseitiger Hypothesentest

04.02.2009, 14:23	Mathewolf	Auf diesen Beitrag antworten »
Einseitiger Hypothesentest Heute wende ich mich mal mit einer Frage an euch. Leider gehört Stochastik nicht gerade zu meinen Glanzdisziplinen innerhalb der Mathematik und daher habe ich bei hier große Verständnisschwierigkeiten. Aber zunächst mal zur Aufgabe: Der deutsche Basketball-Profi Dirk Nowitzki spielt in der amerikanischen Profiliga NBA beim Club Dallas Mavericks. In der Saison 2006/2007 erzielte er eine Trefferquote von 90,4%. Bei Auswärtsspielen traf er 231 von 263 Freiwürfen. Ein Sportreporter berichtet, dass Dirk Nowitzki auswärts eine deutlich schwächere Freiwurfquote habe. Untersuchen Sie auf dem Signifikanzniveau von 5%, ob Nowitzkis Trefferanzahlbei Auswätsspielen signifikant unter seiner erwarteten Trefferzahl liegt. (Hinweis: Für eine binomialverteilte Zufallsgröße X mit Standardabweichung $\begin{eqnarray} \sigma > 3 \end{eqnarray}$ gilt näherungsweise $\begin{eqnarray} P(X\geq\mu-1,64\sigma)\approx 0.95 \end{eqnarray}$ ) In der Vorbereitung zur nachfolgenden Saison vermutet der Trainer, dass die Quote seines Schützlings gesunken ist. Bevor er mit dieser Vermutung an die Öffentlichkeit geht, möchte er anhand der ersten 50 Freiwürfe in der neuen Saison überprüfen, ob diese Aussage auf einem Signifikanzniveau von 10% gesichert ist. Bestimmen Sie eine Entscheidungsregel. Gehen Sie dabei von der gerundeten (Vorjahres-) Trefferquote von 90% aus. Mit dem Aufgabenteil (a) habe ich keine Probleme. Anders sieht es bei (b) aus. Ich finde hier keinen richtigen Lösungsansatz. Liefert Bayes Theorem eventuell eine Lösung?
04.02.2009, 17:52	Zellerli	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Signifikanzniveau zielt auf den Fehler 1. Art ab. Dieser wäre hier: Nowitzki (der übrigens 5km von hier aufgewachsen ist angeb obwohl keine Ahnung von Basketball hab) hat seine 90% Quote und der Trainer meint fälschlicher Weise, er hätte sie nicht. Was mich gerade stört ist, dass das Signifikanzniveau eigentlich bedeutet, wie groß der "fehlerfreie" Bereich ist. Und 10% ist ja nicht gerade sicher. Vielleicht ist in diesem Fall direkt der Fehler gemeint mit 10%. Bayes brauchst du hier meiner Meinung nach nicht. Formuliere einfach den o.g. Fehler in eine Wahrscheinlichkeit um, die dann bei 90% liegen soll. Wieviele Körbe muss Nowitzki dann werfen?
04.02.2009, 18:46	Mathewolf	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich gehe auch sehr stark davon aus, daß mit den 10% die reine Irrtumswahrscheinlichkeit gemeint ist. ... Gut, da ich über keine Zuordnungstabelle für die Koeffizienten des $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ habe, formuliere ich es mal so: Seien $\begin{eqnarray} k\in\mathbb R \end{eqnarray}$ der zum Signifikanzniveau von 90% zugehörige Koeffizient und x die von Nowitzki erzielte Trefferzahl. Die Vermutung des Trainers trifft dann zu, falls gilt $\begin{eqnarray} x< \mu -k\sigma \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \mu = 50\cdot 0,9=45 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sigma = \sqrt{50\cdot 0,9\cdot 0,1}\approx 2,12 \end{eqnarray}$ . Wäre das korrekt?
05.02.2009, 00:57	Zellerli	Auf diesen Beitrag antworten »
Sowas ähnliches hatte ich vor paar Tagen schon einmal: Ich verstehe nicht, wieso du ein Sigma Intervall um den Erwartungswert legst. Das kann richtig hinhauen, aber es vermittelt den Eindruck, als seien nur die Werte um den Erwartungswert herum wünschenswert. Das stimmt aber nicht, denn das eine Ende (Nowitzki trifft weit mehr als erwartet) wäre auch kein Problem. Demnach müsste dein $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ so beschaffen sein, dass (ist ja symmetrisch) insgesamt 80% innen liegen. Von den 20% außen sind die unteren 10% "schlimm" und die oberen "gut". Wie wäre es denn, wenn du direkt sagen würdest: 90% Trefferquote. wird zu Grunde gelegt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ich Nowitzki unterstelle er trifft weniger, obwohl es nur ein "dummer Zufall" war, soll 10% betragen. Der gesunde Menschenverstand sagt dann: Das sind die untersten 10% (denn ich werde wohl kaum unterstellen, er trifft weniger als 90%, wenn er zwar nicht um die 90%, aber vielleicht 98% reinhaut) und die entsprechen einer kumulierten Wahrscheinlichkeit. Und zwar welcher?
05.02.2009, 01:53	Mathewolf	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist doch gerade der Clue bei dem einseitigen Hypothesentest. Ich betrachte ja nicht das Interval $\begin{eqnarray} [\mu-k\sigma,\mu+k\sigma] \end{eqnarray}$ , so wie es beim zweiseitigen Hypothesentest der Fall wäre, sondern das Interval $\begin{eqnarray} [\mu-k\sigma,50] \end{eqnarray}$ . So werden alle Ergebnisse, die besser als der Erwartungswert $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ sind, zugelassen und all jene, die das Signifikanzniveau zu stark drücken herausgenommen. Da gängige Tabellen nur symmetrische $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Umgebungen bedienen, muß zur Bestimmung des Parameters k von einer 20%igen Irrtumswahrscheinlichkeit des zweiseitigen Hypothesentests ausgegangen werden. Oder habe ich da jetzt grundlegends etwas falsch verstanden?
05.02.2009, 11:03	Zellerli	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, alles absolut richitg. Ich hab ja auch nicht gesagt, dass das falsch ist. Man muss es nur richtig machen. Eben so wie du, die 80% und nicht 90% nehmen. Aber wieso dieser Aufwand? Habt ihr heut zu Tage irgendwie nur Sigma-Intervalle zum nachschlagen? Ist eine Binomialverteilung nicht viel einfacher nachzuschlagen? $\begin{eqnarray} B(n=50; p=0,9; x \leq a)\leq 0,1 \end{eqnarray}$
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05.02.2009, 11:40	Mathewolf	Auf diesen Beitrag antworten »
Sicher wäre das Nachschlagen einer Binomialverteilung viel einfacher, alleine schon deswegen, da man Standardabweichung und Erwartungswert nicht ermitteln müßte. Der Hypothesentest wurde aber nur im Rahmen der $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Regel und der Betrachtung über das $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Interval behandelt. Danke für deine ausführlichen Erklärungen, Zellerli
05.02.2009, 12:05	Zellerli	Auf diesen Beitrag antworten »
Tz tz tz... Bundesländer gibts... Oder vielleicht eher: Lehrer gibts... Jo kein Ding.

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