Konvergenzarten

04.02.2009, 15:39

Fletcher

Konvergenzarten

Zur Vorbeitung auf die Klausur, habe ich mir mal folgende Folge von Funktionen hergenommen und möchte nun prüfen, ob diese Folge P-fast sicher konvergiert oder nicht.

Sei dazu $\begin{eqnarray*} f_n(x)=\frac{1}{n^2}1_{[-n,n]}(x) \end{eqnarray*}$

Mein Gefühl sagt mir, dass diese Folge gegen Null konvergiert und zwar für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ , aber wie zum Teufel kann ich das nachrechnen.

Könnte ich so argumentieren:
$\begin{eqnarray*} \{x\in \mathbb R | lim_{n\to\infty}f_n(x)=0\}=\mathbb R \end{eqnarray*}$
Wenn jetzt $\begin{eqnarray*} \mu (\mathbb R)=1 \end{eqnarray*}$ gilt, dann habe ich die P-f.s. Konvergenz gezeigt, aber da hänge ich nun! Weiß jemand weiter?

Ein anderer Fall ist, wenn ich als $\begin{eqnarray*} f_n(x)=\frac{1}{2n}1_{[-n,n]}(x) \end{eqnarray*}$ betrachte und mir die Frage stelle, ob diese Folge von Maßen schwach konvergiert und diese Familie straff ist.

1) Meine Behauptung ist, dass diese Folge nicht schwach konvergiert, weil das bspw. mit der Funktion f identisch 1 scheitert, denn das Grenzmaß ist hier offensichtlich auch wieder das Nullmaß nicht wahr?
2) Damit kann diese Familie auch nicht straff sein. Zur Straffheit kann ich doch auch sagen, dass diese Folge von Maßen keine Häufungspunkte besitzt und deshalb ex. keine Kompakte Menge K so das gilt: $\begin{eqnarray*} sup_{f_n}f(\mathbb R\backslash K) < \epsilon \end{eqnarray*}$ .

Hoffe ihr bringt etwas Licht ins Dunkle Augenzwinkern

04.02.2009, 20:45

Fletcher

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Also ich glaub ja, dass ich richtig argumentiere. Bräuchte aber nochmals Feedback um mich zu vergewissern. Wäre also echt super, wenn sich einer noch melden könnte Wink

05.02.2009, 00:00

WebFritzi

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RE: Konvergenzarten

Zitat:

Original von Fletcher
Sei dazu $\begin{eqnarray*} f_n(x)=\frac{1}{n^2}1_{[-n,n]}(x) \end{eqnarray*}$

Mein Gefühl sagt mir, dass diese Folge gegen Null konvergiert und zwar für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ , aber wie zum Teufel kann ich das nachrechnen.

Das ist doch trivial. Dir ist hoffentlich klar, dass die Folge konstanter Funktionen g_n(x) = 1/n² für jedes x gegen Null konvergiert. Nun ist

$\begin{eqnarray*} 0 \le f_n(x) \le g_n(x) \end{eqnarray*}$

für alle n und alle x. Sandwich-Lemma -> fertig. Man könnte es auch genauso auf triviale Weise direkt beweisen.

05.02.2009, 09:11

Fletcher

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Ja sicher, deine Argumentation ist mir klar. Danke
Wie gesagt anschaulich wars mir klar.

05.02.2009, 16:53

Fletcher

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$\begin{eqnarray*} f_n(x)=n\cdot 1_{(\frac{1}{n},\frac{2}{n})}(x) \end{eqnarray*}$

Konvergiert diese Folge P-fast sicher? JA
Konvergiert diese Folge stochastisch? JA
Konvergiert diese Folge in L^1? NEIN
Ist diese Folge gleichgradig integrierbar? NEIN
Konvergiert Sie in Verteilung? ???

Das war eine Klausuraufgabe, meine Antworten stehen dahinter. Wäre dankbar, für kurzes Feedback!

Gruß

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