Stetigkeit II - Fragen

04.02.2009, 21:47

Stetigkeit123

Stetigkeit II - Fragen

Hallo,

kurze Frage zum Thema Stetigkeit:

Ist eine Funktion f an der Stelle a weder stetig noch unstetig, wenn $\begin{eqnarray*} f(a) \end{eqnarray*}$ nicht f an der Stelle a also nicht definiert ist?

Demgemäß ist also z.B. $\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt {x} \end{eqnarray*}$ an $\begin{eqnarray*} a=-1 \end{eqnarray*}$ weder stetig noch unstetig, genauso wie $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{x-4} \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} a=4 \end{eqnarray*}$ ?

Wäre toll, wenn das jemand bestätigen könnte!
Bis gleich

04.02.2009, 21:58

Airblader

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Stetigkeit ist eine Eigenschaft einer Funktion und macht als solche auch nur dort Sinn, wo eine Funktion definiert ist.
Soll heißen: An einer nicht definierten Stelle ist die Frage nach Stetigkeit einfach sinnlos.

In diesem Sinne sind beide deiner Funktionen auch stetig. Deine Beschreibung dagegen hinkt. Es ist einfach nicht möglich, f(-1) (für f(x)=sqrt(x)) zu betrachten. Punkt und Ende. Augenzwinkern

air

04.02.2009, 22:38

uPPer

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Zitat:

Original von Airblader
In diesem Sinne sind beide deiner Funktionen auch stetig.

Naja, also ich habe die Beispiele jetzt zufällig aus einer Aufgabe, in der ich zeigen soll, dass diese eben weder stetig noch unstetig sind.

Übrigens sollte die Ausgangsfrage heißen (da hat sich ein Rechtschreibfehler eingeschliechen):

Zitat:

Ist eine Funktion f an der Stelle a weder stetig noch unstetig, wenn $\begin{eqnarray*} f(a) \end{eqnarray*}$ nicht existiert, f an der Stelle a also nicht definiert ist?

04.02.2009, 22:40

uPPer

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Sorry, das ich meinen Benutzernamen gewechselt habe unglücklich

.
Es bleibt jetzt bei "uPPer" ... smile

04.02.2009, 23:16

Airblader

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Eine Funktion heißt stetig, wenn sie in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches stetig ist.
Beide Beispiele werden dieser Definition deutlich gerecht.

air

04.02.2009, 23:40

uPPer

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Ich verstehe es leider nicht so ganz.
Könntest du mir das vielleicht etwas ausführlicher anhand von $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{x-4} \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} a=4 \end{eqnarray*}$ zeigen?

04.02.2009, 23:57

Airblader

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Wir reden also von $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \setminus \{4\} \mapsto \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{x-4} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt schau dir mal die Definition von Stetigkeit in einem Punkt an (je nachdem, welche Definiton ihr habt).
So oder so, es wird beginnen mit*

Zitat:

Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f: D_f \mapsto \mathbb R \end{eqnarray*}$ heißt stetig in $\begin{eqnarray*} x_0 \in D_f \end{eqnarray*}$ [..]

Jetzt haben wir folgendes Problem: Die Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 = 4 \end{eqnarray*}$ , die du aus irgendwelchen Gründen anschauen willst, ist gar nicht Element der Definitionsmenge. Also kannst du auch nichts auf Stetigkeit an dieser Stelle untersuchen - die Frage stellt sich einfach nicht!

Für alle anderen $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \setminus \{4\} \end{eqnarray*}$ ist die Definition von Stetigkeit jedoch erfüllt, soll heißen: f ist in allen Punkten des Definitionsbereiches stetig.
Und wenn dies der Fall ist, so nennt man die gesamte Funktion stetig.

*) Es kann natürlich anderen Wortlaut haben, die Aussage ist aber die selbe.

air

05.02.2009, 16:16

uPPer

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Jetzt hab ichs, vielen Danke!

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