Folge

05.02.2009, 00:56	Dirk223	Auf diesen Beitrag antworten »
Folge Untersuchen Sie die Folge $\begin{eqnarray} \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}\, ,\quad a_{n}=\frac{n!}{n^{n}} \end{eqnarray}$ auf Konvergenz! Wer kann helfen? Danke!
05.02.2009, 06:57	sdfds	Auf diesen Beitrag antworten »
Sagt dir die Stirling-Formel etwas? Stirling Formel [Wikipedia]
05.02.2009, 10:08	Himbeer-Toni	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folge Nur falls die Stirling'sche Formel noch nicht dran gewesen sein sollte. Zeige zunächst: Sei $\begin{eqnarray} 0<q_n<1 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty q_n=\infty\Rightarrow \prod_{n=1}^\infty(1-q_n)=0. \end{eqnarray}$ Nun zurück zur Aufgabe: $\begin{eqnarray} a_n=\frac{n!}{n^n}=\prod_{k=1}^{n-1}\left(1-\frac k n \right) \ldots \end{eqnarray}$
05.02.2009, 15:58	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{n!}{n^n}=\frac{1}{n}\cdot \left(\frac{2}{n}\cdot\ldots\cdot\frac{n}{n}\right)\leq \frac{1}{n}. \end{eqnarray}$

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