Ungleichung

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Felix Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung


Wie zeige ich die Richtigkeit diese Ungleichung, ich komm einfach nicht dahinterunglücklich

Würde mich sehr über Tipps freuen smile

lg
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, da bietet sich doch Vollständige Induktion an. Allerdings sollte man vorher die Behauptung verschärfen (!), sonst erlebt man im Induktionsschritt sein blaues Wunder.

Sinngemäß trifft hier nämlich genau das zu, was ich hier (zweiter Tipp) schon mal angedeutet hatte. Das sind natürlich Tricks, die in der Schule nicht gelehrt werden. Augenzwinkern
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Naja, da bietet sich doch Vollständige Induktion an. Allerdings sollte man vorher die Behauptung verschärfen (!), sonst erlebt man im Induktionsschritt sein blaues Wunder.



Ja das habe ich gemerkt Big Laugh

Bin allerdings noch nicht dahintergekommen, auf welche Weise ich die rechte Seite verkleinern kann, so dass die Induktion klappt. Die linke Seite lässt sich soweit ich sehe nicht zielführend vergrößern ...

In der Ungleichung ist übrigens ein Fehler, sollte eine 6 statt einer 8 sein.

lg
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Felix
Die linke Seite lässt sich soweit ich sehe nicht zielführend vergrößern ...

Doch, und zwar fast genauso wie im verlinkten Beitrag; Beweise einfach

,

gilt natürlich erst für , aber deine Ungleichung oben ja auch.
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank Freude
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe leider noch weitere Probleme unglücklich .

Insgesammt soll ich nämlich unter Verwendung von



zeigen, dass

.

Allerdings, scheint



nicht zu gelten.

Geh ich da überhaupt falsch ran ?

lg
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest mal deine Gedanken ordnen: Einmal hast du diese Art Wallissches Produkt mit geraden Zahlen im Zähler und ungeraden Zahlen im Nenner, und dann wieder umgekehrt - das musst du natürlich durch passende Reziprokbildungen deiner Ungleichungen berücksichtigen. Da scheint mir der Grund für die Verwirrung zu liegen, denn in der Behauptung

.

(ich hab sie links noch etwas verschärft) kann ich nichts falsches erkennen. unglücklich


Eigentlich kannst du (*) doch recht schnell nachweisen mit einerseits der Ungleichung oben, und andererseits dem Nachweis von

,

wobei der oben noch misslungene Induktionsschritt ("blaues Wunder") doch noch zu Ehren kommt. Augenzwinkern


Mit zwar umfänglichen, aber nicht wirklich schwierigen Integralabschätzungen kommt man übrigens zu genaueren Eingrenzungen:

Zitat:
Original von outSchool

Daraus Wurzel gezogen und in deiner Produktform umgeschrieben ergibt sich

.



P.S.: Das hier fällt doch aber auch nicht vom Himmel:

Zitat:
Original von Felix
Insgesammt soll ich nämlich unter Verwendung von


Wie habt ihr denn das begründet? ... EDIT: Ok, ich kann's mir denken. Augenzwinkern
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Da scheint mir der Grund für die Verwirrung zu liegen, denn in der Behauptung

.

(ich hab sie links noch etwas verschärft) kann ich nichts falsches erkennen. unglücklich


Eigentlich kannst du (*) doch recht schnell nachweisen mit einerseits der Ungleichung oben, und andererseits dem Nachweis von

,

wobei der oben noch misslungene Induktionsschritt ("blaues Wunder") doch noch zu Ehren kommt. Augenzwinkern


links unter der Wurzel sollte 2n stehen nicht n, ist aber eigentlich auch egal, da nach der am Anfang bewiesenen Unleichung die linke Seite ja sowieso bewiesen ist.

Für die Rechte Seite wollte ich nun die Abschätzung \frac{2\cdot 4\cdot ... \cdot (2n) }{3\cdot 5 \cdot ...\cdot (2n +1) } <\frac {1}{\sqrt{2n}} verwenden. Da hat aber schon der Induktionsanfang nicht ganz hingehaut ..
Insgesammt natürlich eher umständlich - an Reziprokbildung und einfaches umformen habe ich natürlich gar nicht gedacht Big Laugh
Ich habe jetzt die Ungleichung vom Anfang ein bisschen umgeformt und so auch die Richtigkeit der rechten Seite gezeigt, danke Freude


lg

P.S. : Auf die Integralabschätzungen werde ich zurückkommen wenn ich bei dem entsprechendem Kapitel bin Augenzwinkern

Edit:

habe ich über Induktion gezeigt ... (wie kommst du eigentlich auf den Plural ? )
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Felix
links unter der Wurzel sollte 2n stehen nicht n, ist aber eigentlich auch egal, da nach der am Anfang bewiesenen Unleichung die linke Seite ja sowieso bewiesen ist.

Nein, du hast die rechte Seite schon bewiesen. Schade, ganz offenbar hast du meinen Hinweis mit dem Verdrehen von Zähler und Nenner großzügig überlesen. Den Hinweis mit der Verschärfung links ebenfalls. unglücklich
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Nein ich habe den Hinweis nicht überlesen, ich habe ja, zugegeben etwas vage, geschrieben, dass ich "durch ein bisschen umformen" der anfänglichen Gleichung die Richtigkeit der rechten Seite gezeit hab. (das umformen hat Kehrwertbildung beinhaltet Augenzwinkern ). Weiters zeigt diese Ungleichung allerdings auch die richtigkeit der linken seite, da



ja auch gilt.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal: Das Reziproke der Behauptung



ist

,

und das kann man noch durch teilen, um auf deine ursprüngliche Behauptung im Eröffnungsbeitrag zu kommen:

.

Und die steht hier dann rechts, nicht links.
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Aso Big Laugh

Ich habe folgendermaßen argumentiert, dabei habe ich auf die Ungleichung



zurückgegriffen:

Durch beweisen der Ungleichung

(*)

erhalte ich die Ungleichung



Andererseits kann ich (*) so umformen (zuerst Kehrwert, dann "durch 2n"), dass ich

erhalte.

Ich habe halt nicht die Behauptung sondern (*) umgeformt Augenzwinkern

Nochmals danke !

lg
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bezog mich lediglich auf diese Aussage

Zitat:
Original von Felix
da nach der am Anfang bewiesenen Unleichung die linke Seite ja sowieso bewiesen ist.

die eben ganz einfach falsch war. Schade, dass du das nicht zugeben kannst.
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Es war nie meine Absicht irgendetwas nicht zugeben zu wollen Ups
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, ganz offenbar gibt es erhebliche Kommunikationsstörungen - die man hätte ganz einfach vermeiden können, indem du gleich von Anfang an die Karten auf den Tisch gelegt hättest, dass du den Beweis unbedingt auf



aufbauen willst. Was man durchaus so machen kann, wenngleich es auch anders geht.
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Es wäre nicht einmal dringend notwendig gewesen, hat sich irgendwie nur in meinem Kopf festgefahren. Ich bin durchaus froh, nun auch einen zweiten Weg der Beweisführung zu kennen, der ja im Grunde genommen auch einfacher ist ...
Das nächste mal werde ich mich um mehr Klarheit bemühen.

lg
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