3folgengrenzwerte

05.02.2009, 16:59

dr_fine

3folgengrenzwerte

hi
also ich hab hier 3 folgen von denen ich den grenzwert berechnen soll, bei den ersten beiden hab ich auch ne vermutung aber beim dritten nicht so wirklich

1) $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{1+n})^{\frac{3}{2}} =\lim_{n \to \infty} (1+\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1+n}{n}})^{\frac{3}{2}}=(1+\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1+n}{n}})^{\frac{3}{2}}=(1+0)^{\frac{3}{2}}=1 \end{eqnarray*}$

darf man den limes einfach da reinziehen?

2) $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{n^{3}+3n-1}{(n+1)^{3}}=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{n^{3}+3n-1}{n^{3}}}{\frac{n^{3}+3n^{2}+3n+1}{n^{3}}}=\frac{1}{1}=1 \end{eqnarray*}$

3) $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ <-- da weiß ich nicht so recht weiter

hoffe mir kann jmd helfen, bzw verbessern

05.02.2009, 17:06

Q-fLaDeN

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1 und 2 sind richtig.

Zur 3.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n} = \lim_{n \to \infty}~n^{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty}~e^{\frac 1 n \cdot \ln n} \end{eqnarray*}$

05.02.2009, 17:22

dr_fine

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ah ok und dann mit l`hopital

betrachte:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{ln(n)}{n}= \lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{n}}{1}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{n \to \infty}~e^{\frac 1 n \cdot \ln n}=e^{0}=1 \end{eqnarray*}$

05.02.2009, 19:05

Q-fLaDeN

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Ja. Übrigens gilt auch noch:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~\sqrt[n]{C} = 1 \end{eqnarray*}$ für Konstanten $\begin{eqnarray*} C. \end{eqnarray*}$ Hier hat man den Spezialfall $\begin{eqnarray*} C = n \end{eqnarray*}$

Wink

05.02.2009, 23:00

Hanni und Nanni

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Zitat:

Original von Q-fLaDeN
Ja. Übrigens gilt auch noch:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~\sqrt[n]{C} = 1 \end{eqnarray*}$ für Konstanten $\begin{eqnarray*} C. \end{eqnarray*}$ Hier hat man den Spezialfall $\begin{eqnarray*} C = n \end{eqnarray*}$

Wink

Nur ist n keine Konstante!

22.02.2009, 18:23

Wusel

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Ich bin gerade dabei alte Übungsaufgaben durchzurechnen und auch über Aufgabe 3), sprich also:

$\begin{eqnarray*} a_{n}= \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$

gestolpert.

Mit der hier angebotenen Lösung ist zwar klar, dass es auf diesen Grenzwert hinausläuft, aber da man im AnalysisI-Kurs in der Regel am Beginn des Semesters Konvergenz von Folgen und Reihen hat und erst zum Ende hin Grenzwerte von Funktionen und damit auch erst am Ende den so geliebten l'Hospital, würde mich mal interessieren, wie man diesen Grenzwert ohne Differentiation löst.

Schonmal danke im Voraus! smile

22.02.2009, 18:29

Q-fLaDeN

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Als Ansatz:

Substituiere $\begin{eqnarray*} n = \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ , dann folgt $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = \lim_{k \to 0}~\sqrt[\frac 1 k]{\frac 1 k} \end{eqnarray*}$

22.02.2009, 18:54

Wusel

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Ah Ok,

das ganze wider als Potenz schreiben, die Potenz in den Nenner Ziehen und dann läuft das Ganze auf

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{0^{0}}=\frac{1}{1}=1 \end{eqnarray*}$

hinaus.

22.02.2009, 19:07

Q-fLaDeN

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$\begin{eqnarray*} 0^0 \neq 1 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to 0}~k^k = 1 \end{eqnarray*}$

Letzteres müsstest du evtl. noch zeigen.

22.02.2009, 19:08

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Bei $\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ krieg ich die Krise, den Ärger muss man sich hier nicht ans Bein binden. Es geht doch auch elementarer:

Offenbar ist $\begin{eqnarray*} a_n\geq 1 \end{eqnarray*}$ . Gemäß binomischen Satz gilt daher für $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n = (\sqrt[n]{n})^n = (1+(a_n-1))^n \geq 1+ \binom{n}{2}(a_n-1)^2 = 1+ \frac{n(n-1)}{2}(a_n-1)^2 \end{eqnarray*}$ ,

das ergibt umgestellt $\begin{eqnarray*} 1 \leq a_n \leq 1 + \sqrt{\frac{2}{n}} \end{eqnarray*}$ . In diesem Sandwich bleibt dann nur die Konvergenz gegen 1.

22.02.2009, 20:48

Wusel

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Hm okay,

das gefällt mir vom ästhetischen her auch besser.

Eine kleine Verständnisfrage habe ich dann doch noch:

$\begin{eqnarray*} (1+(a_n-1))^n \geq 1+ \binom{n}{2}(a_n-1)^2 \end{eqnarray*}$

Dieser Schritt Funktioniert, da $\begin{eqnarray*} a_n \geq 1 \end{eqnarray*}$ gilt und man sich damit einfach ein Element aus einer Summe von positiven Summanden herausgreift, richtig?

Ansonsten bin ich einfach nur schwer begeistert, auf so ein Sandwich wär ich nie im Leben selber gekommen.

22.02.2009, 20:57

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Genau: Aus der vollständigen binomischen Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (a_n-1)^k \end{eqnarray*}$ greift man sich nur die Summanden für k=0 und k=2 heraus. Da alle Summanden positiv sind, kann man so wie geschehen abschätzen.

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