Quotienten- und Wurzelkriterium beide nutzlos?

05.02.2009, 17:32

Sinaxy

Quotienten- und Wurzelkriterium beide nutzlos?

Hallo an alle,

ich habe eine Reihe durch $\begin{eqnarray*} 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+... \end{eqnarray*}$ gegeben und soll sie auf Konvergenz untersuchen.

Hier mein Vorgehen:

1. Ich habe für den obigen Ausdruck das Summenzeichen verwendet: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~ \frac{1}{\sqrt{k}} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

2. Ich habe mal das Quotientenkriterium bemüht und erhalte: $\begin{eqnarray*} \mid \frac{a_{k+1}}{a_k} \mid = \mid \frac{\frac{1}{\sqrt{k+1}}}{\frac{1}{\sqrt{k}}}\mid = \mid \frac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}} \mid = \sqrt{\frac{k}{k+1}} = \sqrt{\frac{1}{1+\frac{1}{k}}} \end{eqnarray*}$

Dieser letzte Ausdruck strebt gegen 1 und zwar "von unten her", so dass er nie größer sein wird als 1. Nach dem Quotientenkriterium ist die Reihe also schon mal nicht divergent. Allerdings kann ich nicht die Konvergenz zeigen, da ich kein $\begin{eqnarray*} q\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ finde mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{1+\frac{1}{k}}} \leq q < 1 \end{eqnarray*}$ ab einem bestimmten Wert k.

Doch was ist nun mit der Reihe?

3. Dann habe ich es mal mit dem Wurzelkriterium ausprobiert, das ja "besser" sein soll als das Quotientenkriterium: $\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{\mid a_k \mid} = \sqrt[k]{\mid \frac{1}{\sqrt{k}}\mid} = \sqrt[k]{\frac{1}{\sqrt{k}}} = \frac{1}{k^{\frac{1}{2k}}} \end{eqnarray*}$

Beim letzten Ausdruck strebt der Exponent im Nenner für sehr große k gegen 0, so dass der Nenner insgesamt gegen 1 strebt. Damit strebt der gesamte Bruch auch gegen 1, und zwar erneut - wie auch beim Quotientenkriterium - "von unten her". Das heißt, er wird nie größer als 1 sein, so dass sich auch hier keine Divergenz ergibt. Allerdings lässt sich analog zum Quotientenkriterium erneut keine Konvergenz zeigen.

Doch was nun? Sind Quotienten- und Wurzelkriterium hier nutzlos?

4. Ich habe sodann mal das Minorantenkriterium bemüht: Ich weiß, dass die harmonische Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ divergent ist. Dabei liegt die Folge $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ bis auf das erste Glied unterhalb der Folge $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{k}} \end{eqnarray*}$ , und zwar wegen der Wurzel im Nenner bei der zweiten Folge. Damit sind doch aber die Bedingungen des Minorantenkriteriums erfüllt und die Ausgangsreihe ist divergent.

Dies widerspricht allerdings den beiden Kriterien zuvor (???).

Sind Quotienten- und Wurzelkriterium hier nutzlos, weil die relevanten Ausdrücke gegen 1 streben?

Und habe ich das Minorantenkriterium richtig angewandt? Ist die Ausgangsreihe divergent?

Vielen Dank schon mal für die eifrigen Leser...wäre schön, wenn mir jemand mehr Klarheit verschaffen könnte.

05.02.2009, 17:37

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Zitat:

Original von Sinaxy
Doch was nun? Sind Quotienten- und Wurzelkriterium hier nutzlos?

Ja, das sind sie. So wie bei allen anderen wirklich anspruchsvollen Reihen auch. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Sinaxy
Dies widerspricht allerdings den beiden Kriterien zuvor (???).

Nein, wieso? Da ist kein Widerspruch.

Zitat:

Original von Sinaxy
Sind Quotienten- und Wurzelkriterium hier nutzlos, weil die relevanten Ausdrücke gegen 1 streben?

Erneut ja.

Zitat:

Original von Sinaxy
Und habe ich das Minorantenkriterium richtig angewandt? Ist die Ausgangsreihe divergent?

Ebenfalls ja. Freude

05.02.2009, 17:41

Sinaxy

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Wow, das ging ja schnell mit der Antwort. Aber gut zu wissen, dass ich da nicht falsch lag mit meinen Überlegungen. Vielen Dank.

06.02.2009, 11:15

WebFritzi

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RE: Quotienten- und Wurzelkriterium beide nutzlos?
Doch, hier liegt du falsch:

Zitat:

Original von Sinaxy
Dieser letzte Ausdruck strebt gegen 1 und zwar "von unten her", so dass er nie größer sein wird als 1. Nach dem Quotientenkriterium ist die Reihe also schon mal nicht divergent.

Denn "nicht divergent" heißt "konvergent", und das ist offenbar falsch. Dass der Ausdruck gegen 1 strebt, bedeutet lediglich, dass das Quatienkriterium dir keine Aussage über die Konvergenz der Reihe liefert.

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