zuwachskapital-zinseszinsen

05.02.2009, 18:25

Mathq

zuwachskapital-zinseszinsen

Hallo, ich hab versucht die Formel aufzustellen, aber wird etwas lang die Formel und wollte fragen, wie man sie vereinfachen könnte:

x=Grundkapital
36=Monatlicher Beitrag
k=(1+zinsen/12)

x1'=x0*k
x2'=(x0*k+36)*k
x3'=[(x0*k+36)*k+36]*k
x4'={[(x0*k+36)*k+36]*k+36}*k

ja, das Ganze bis 20, oder so ... hab echt kein Plan, wie man das verkürzt, oder gibts da kein weg, und man musses so lang ausschreiben? Ich wollte ne Formel, die ich in den Taschenrechner eingeben kann und keine Summenformel wie $\begin{eqnarray*} \sum_{x0=x1}^{n=20} ~ x1=(x0*k+36)*k \end{eqnarray*}$ ... ist doch so richtig, oder? also für 20 Monate?

05.02.2009, 19:40

uwe-b

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Was du da stehen hast, ist falsch...

Schau mal hier... http://de.wikipedia.org/wiki/Zinseszins

05.02.2009, 20:24

MAthq

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nene, passt schon, is richtig! Versuchs mal selber zu rechnen.
Werden ja immer 36€ Monatlich eingezahlt und das k ist z.B. = 1+0,03/12

Am Ende des ersten Monats habe ich = Grundkapital*k
dann zahle ich Ende des Monats nochmal 36€ drauf und habe zu verzinsen ( GrundkapitalVomVormonat+Zinsen+36€) Augenzwinkern

naja, da mir ansonsten keiner antwortet, nehme ich das als: Es gibt keine einfachere Form?

06.02.2009, 13:39

uwe-b

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Ok, sorry. Hab ich falsch gelesen. Hammer

$\begin{eqnarray*} K_0 \end{eqnarray*}$ Grundkapital, $\begin{eqnarray*} i = \frac{p}{100} \end{eqnarray*}$ Zinssatz, $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Monate.
Weiter sei $\begin{eqnarray*} k = i +1 \end{eqnarray*}$

Dann:

- $\begin{eqnarray*} K_1 = K_0 \cdot k + 36 \end{eqnarray*}$

- $\begin{eqnarray*} K_2 = K_1 \cdot k + 36 = (K_0 \cdot k + 36) \cdot k + 36 = K_0 \cdot k^2 +36 k + 36 \end{eqnarray*}$

- $\begin{eqnarray*} K_3 = K_2 \cdot k + 36 = (K_0 \cdot k^2 +36 k + 36) \cdot k + 36 = K_0 k^3 + 36k^2 + 36k + 36 \end{eqnarray*}$

usw.

Man kommt dann für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Monate auf

$\begin{eqnarray*} K_n = K_0 k^n + 36 k^{n-1} + 36 k^{n-2} + ... + 36k + 36 = K_0 k^n + 36 \sum_{j=0}^{n-1} k^j \end{eqnarray*}$

Mit der geometrischen Reihe erhält man, da $\begin{eqnarray*} k \neq 1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^{n-1} k^j = \frac{k^n-1}{k-1} \end{eqnarray*}$ .

Also insgesamt: $\begin{eqnarray*} K_n = K_0 k^n + 36 \frac{k^n-1}{k-1} \end{eqnarray*}$

07.02.2009, 22:40

Mathq

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Hi, danke, hab zwar erstmal gebraucht, um es zu verstehen, aber jetzt ists gut.
Den Beweis zur Geometrischen Reihe in Wikipedia kapier ich immer noch nicht, aber naja, ich denke das wäre mir zu viel Arbeit für ein zu kleines Ergebnis Augenzwinkern

... ausser es weiß jemand ne übersichtlichere Herleitung?

Mal ne Frage: Wie kommt man auf so ein Zeug wie "geometrische Reihe" ???? Wusstest du das schon im Voraus, oder wie haste das gesucht und gefunden?

08.02.2009, 11:38

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bei unterjähriger Verzinsung ist noch zu beachten

k=1+i/12 (12 Monate=Raten)

Kn= K0*k^n + 36((k^n-1)/((k-1)*k^n))

08.02.2009, 12:10

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fällt grad noch was ein, bei den Raten wäre noch wichtig ob vorschüssig oder nachschüssig
je nach dem wäre im Ratenterm (nach dem +) das n um 1 zu subtrahieren

$\begin{eqnarray*} k=1+\frac{i}{12} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K_n=K_0k^n+36\frac{k^n-1}{(k-1)k^n} \end{eqnarray*}$

09.02.2009, 17:32

Mathq

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Zitat:

Original von K0
$\begin{eqnarray*} K_n=K_0k^n+36\frac{k^n-1}{(k-1)k^n} \end{eqnarray*}$

Hi, danke ür die Antworten, bin aber jetzt etwas verwirrt.

Also das mit dem vorschüssigen und nachschüssigen Zahlen hab ich net gerafft. Meinst du, ob man erst die 36€ bezahlt und es dann verzinst wird, oder ob es erst verzinst wird und dann bezahlt man die 36€ dazu??? Also das macht ja kein großen unterschied. Ausser man nimmt beim ersten Beispiel Grundkapital+36... und der Rest ist wie gehabt... nur am Ende -36 ....

Naja, wo kommten auf einmal das $\begin{eqnarray*} k^n \end{eqnarray*}$ im Nenner her??????? Ich würde fast sagen, das ist sogar falsch?!

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