Integrale

05.02.2009, 19:26

Heinz

Integrale

Kann mir jemand sagen, ob ich folgendes Integral richtig berechnet habe: INT[4/x dx] von 1 bis e = [4 ln (x)] 1 bis e = 4 ln * e - 4 ln (1) = 4 - 0 = 4

Und wie kann man folgende Integrale berechnen: INT[dx/x³] von 0 bis 5 ^1/2 und INT[e^-3x dx] von 0 bis unendlich ? Es handelt sich dabei um uneigentliche Integrale, da beim ersten dx/x³ für 0 nicht definiert ist und beim zweiten die obere Grenze unendlich ist, oder ?

05.02.2009, 19:41

Q-fLaDeN

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Ja das 1. Integral ist richtig. Wobei es $\begin{eqnarray*} \ln e \end{eqnarray*}$ heißen müsste und nicht $\begin{eqnarray*} \ln \cdot~e, \end{eqnarray*}$ das ist nämlich undefiniert, sowas gibt es nicht.

zum 2.

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\sqrt{5}}~\frac{1}{x^3}~\dd x = \int_0^{\sqrt{5}}~x^{-3}~\dd x \end{eqnarray*}$

Zum 3.

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty~e^{-3x}~\dd x = \lim_{a \to \infty}~\int_0^a~e^{-3x}~\dd x \end{eqnarray*}$

Bitte gewöhne dir Latex an, damit man das ganze besser lesen kann.

Wink

\Edit
Und in der Hochschulmathematik sind wir hier wohl auch nicht.

05.02.2009, 20:06

Q-fLaDeN

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http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/222389,0.html?sid=

unglücklich

06.02.2009, 01:00

Heinz

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Zitat:

Original von Q-fLaDeN
Ja das 1. Integral ist richtig. Wobei es $\begin{eqnarray*} \ln e \end{eqnarray*}$ heißen müsste und nicht $\begin{eqnarray*} \ln \cdot~e, \end{eqnarray*}$ das ist nämlich undefiniert, sowas gibt es nicht.

zum 2.

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\sqrt{5}}~\frac{1}{x^3}~\dd x = \int_0^{\sqrt{5}}~x^{-3}~\dd x \end{eqnarray*}$

Nein, das stimmt nicht, da 1/x³ für 0 nicht definiert ist. Das war ja mein Problem bei der Aufgabe.

06.02.2009, 08:55

klarsoweit

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Deswegen ist es ein uneigentliches Integral und man muß im Grunde schauen, ob der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{a \to 0, a > 0}~\int_a^{\sqrt{5}}~\frac{1}{x^3}~\dd x \end{eqnarray*}$ existiert.

06.02.2009, 20:09

Heinz

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Also muss man gar nicht die obere und untere Grenze in die Stammfunktion einsetzen ?

06.02.2009, 21:09

system-agent

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Natürlich musst du das, aber als die einzusetzende untere Grenze nimmst du $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .
Wenn $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ deine Stammfunktion ist, erhälst du
$\begin{eqnarray*} F(\sqrt{5})-F(a) \end{eqnarray*}$ .
Falls nun der Grenzwert $\begin{eqnarray*} a^*=\lim_{a\to0}F(a) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ existiert, dann ist der Wert des Integrals per Definition
$\begin{eqnarray*} F(\sqrt{5})-a^* \end{eqnarray*}$ .

Edit:
Vorher stand in der letzten Zeile " $\begin{eqnarray*} F(\sqrt{5})-F(a^*) \end{eqnarray*}$ ", was natürlich falsch ist, danke klarsoweit.

07.02.2009, 11:00

klarsoweit

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Zitat:

Original von system-agent
$\begin{eqnarray*} F(\sqrt{5})-F(a^*) \end{eqnarray*}$ .

Kleiner Fauxpas: der Wert des Integrals ist dann $\begin{eqnarray*} F(\sqrt{5}) - a^* \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

07.02.2009, 12:28

system-agent

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Du hast natürlich Recht, danke für den Hinweis ! Ich werds oben editieren !

Viel verdiente Forum Kloppe

für mich !

07.02.2009, 18:17

Heinz

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von system-agent
$\begin{eqnarray*} F(\sqrt{5})-F(a^*) \end{eqnarray*}$ .

Kleiner Fauxpas: der Wert des Integrals ist dann $\begin{eqnarray*} F(\sqrt{5}) - a^* \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Also - 1/2 ((5^1/2)) ^-2 = -1/10 + 1/2(a) ^-2 ?

07.02.2009, 18:58

klarsoweit

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Zitat:

Original von Heinz
Also - 1/2 ((5^1/2)) ^-2 = -1/10 + 1/2(a) ^-2 ?

Was soll das jetzt sein?

07.02.2009, 19:05

Heinz

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Heinz
Also - 1/2 ((5^1/2)) ^-2 = -1/10 + 1/2(a) ^-2 ?

Was soll das jetzt sein?

Ich habe die Grenzen in die Stammfunktion eingesetzt....

08.02.2009, 11:21

klarsoweit

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Hmm. Und wie kommst du auf die linke Seite dieser "Gleichung? verwirrt

Wenn ich das mache, steht da $\begin{eqnarray*} \int_a^{\sqrt{5}}~\frac{1}{x^3}~\dd x = -\frac 1 2 \cdot (\frac 1 5 - a^{-2}) \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt laß da mal das a gegen Null gehen.

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