reguläre Jacobimatrix

05.02.2009, 21:17

tigerbine

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reguläre Jacobimatrix

Hier komme ich nicht weiter. Gegeben ist eine Funktion IR² -> R² mit

$\begin{eqnarray*} F(u,v)=\begin{pmatrix} u^2-2v^2+1 \\ e^{uv} -4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie lautet die Jacobimatrix und wo wird sie singulär. Ich würde nun sagen

$\begin{eqnarray*} J_F=\begin{pmatrix} 2u &-4v\\ v\cdot e^{uv} & u\cdot e^{uv}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(0,0) fällt mir als kritisch auf. Aber wie untersucht man richtig weiter? Wenn nun nur eine Komponente 0 ist, sehe ich keine Probleme.

Nun hätte ich gedacht, wenn J singulär, dann müssen Spalten /Zeilenvektoren Vielfache sein. Wenn ich es für Spaltenvektoren betrachte, dann sehe ich keine Möglichkeit, diese (bis auf (0,0)) abhängig zu bekommen.

Was übersehe ich?

05.02.2009, 21:57

Dual Space

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RE: reguläre Jacobimatrix
Schau doch einfach, wann die Determinante Null wird.

05.02.2009, 22:07

tigerbine

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RE: reguläre Jacobimatrix
Finger1

Finger1

Wald und Bäume....

$\begin{eqnarray*} \det J_F= 2u \cdot u \cdot e^{uv} + 4\cdot v^2 e^{uv} = 2(u^2+2v^2)e^{uv} \end{eqnarray*}$

komme wieder nur auf (0,0) als kritischen punkt....

05.02.2009, 22:16

Mathespezialschüler

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Jup, sieht gut aus.

05.02.2009, 22:17

tigerbine

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Danke

Wink

05.02.2009, 22:53

tigerbine

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Somit kann man an der Stelle (1,1) die Inverse bilden.

$\begin{eqnarray*} J_F(1,1)=\begin{pmatrix} 2 &-4\\ e & e\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mit der Invertierungsformel für 2x2:

$\begin{eqnarray*} (J_F(1,1))^{-1}=\frac{1}{6e}\begin{pmatrix} e &4\\ -e & 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

richtig?

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05.02.2009, 23:31

system-agent

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Sieht OK aus.

05.02.2009, 23:41

tigerbine

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Mmh, wenn ich nun da mal Newton mit machen würde, so wäre (1,1) ja ein denkbarer Startwert.

$\begin{eqnarray*} F(1,1)=\begin{pmatrix} 1^2-2\cdot 1^2+1 \\ e^{1\cdot 1} -4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ e -4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix} - \frac{1}{6e}\begin{pmatrix} e &4\\ -e & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ e -4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix} - \frac{1}{6e}\begin{pmatrix} 4e-16\\ 2e-8\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1-\frac{2}{3}+ \frac{16}{6e} \\ \\ 1 - \frac{1}{3} + \frac{4}{3e}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \frac{1}{3}+ \frac{8}{3e} \\ \\ \frac{2}{3} + \frac{4}{3e}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

06.02.2009, 08:09

system-agent

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Was willst du denn eigentlich mit der Funktion machen?

06.02.2009, 12:09

tigerbine

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Nix.

Augenzwinkern

Ne, testen, wann Newton Verfahren konvergiert und den ersten Newton Schritt für (1,1) berechnen. Und ganz am Anfang stand mal das LGS

$\begin{eqnarray*} u^2-2v^2+1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{uy}-4 =0 \end{eqnarray*}$

Und nun würde ich gerne wissen, ob meine Ideen einigermaßen passen.

07.02.2009, 15:25

tigerbine

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Und, stimmt das was ich gerechnet habe? Ups

Ups

10.02.2009, 19:08

tigerbine

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Huhu...

Tränen

10.02.2009, 23:01

tigerbine

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Wäre wirklich dankbar wenn das mal jemand nachrechnen könnte.

11.02.2009, 10:21

system-agent

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Zitat:

Original von tigerbine
$\begin{eqnarray*} F(1,1)=\begin{pmatrix} 1^2-2\cdot 1^2+1 \\ e^{1\cdot 1} -4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ e -4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix} - \frac{1}{6e}\begin{pmatrix} e &4\\ -e & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ e -4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix} - \frac{1}{6e}\begin{pmatrix} 4e-16\\ 2e-8\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1-\frac{2}{3}+ \frac{16}{6e} \\ \\ 1 - \frac{1}{3} + \frac{4}{3e}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \frac{1}{3}+ \frac{8}{3e} \\ \\ \frac{2}{3} + \frac{4}{3e}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Diese Rechnung stimmt auf jeden Fall.
Was das Newtonverfahren an und für sich angeht da bist du eher die Expertin Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Newton konvergiert ja in einer gewissen Umgebung, wenn die Jacobimatrix am Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} F(x_0)=0 \end{eqnarray*}$ invertierbar ist.
Das heisst die Frage ist ja, ob $\begin{eqnarray*} (1,1) \end{eqnarray*}$ innerhalb dieser gewissen Umgebung liegt oder nicht.

11.02.2009, 14:36

tigerbine

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Danke.

Entscheident ist, ob es eine Umgebung der Nullstelle gibt, so dass J dort invertierbar ist. Der Startwert wurde mir vorgegeben. Da aber (0,0) einziger Kritischer Punkt ist, sollte das i.O. sein.

11.02.2009, 15:01

system-agent

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Das wird dann wahrscheinlich schon gutgehen wenn es vorgegeben war, aber mMn sagt die kritische Stelle nichts weiter aus was die Konvergenz angeht.
Du weisst ja nur, dass $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ nicht die gesuchte Stelle ist und du bisher sicher sein kannst dass es um die gesuchte Stelle eine Umgebung gibt so, dass mit jedem Startwert in dieser Umgebung das Newtonverfahren auch dagegen konvergiert.

Du weisst aber deshalb trotzdem nicht, ob der Startwert auch wirklich in dieser Umgebung liegt...

11.02.2009, 15:05

tigerbine

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Da gebe ich dir recht. Wie gesagt, der Startwert wurde mir vorgegeben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ob diese Wahl gut war, habe ich nicht untersucht. Müsste man sicherlich noch, wenn man behauptet, dass das Verfahren mit diesem Wert konvergiert.

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