Nilpotente Matrizen mit Eigenwert 0

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Sabinee Auf diesen Beitrag antworten »
Nilpotente Matrizen mit Eigenwert 0
Hallo,

Nilpotente Matrizen haben nur den Eigenwert 0 das weiß ich.

Gilt denn auch die Rückrichtung?
Also ist ein charakteristisches Polynom mit 0 als einzigem Eigenwert nilpotent?

Danke
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nilpotente Matrizen mit Eigenwert 0
Zitat:
Original von Sabinee
Also ist ein charakteristisches Polynom mit 0 als einzigem Eigenwert nilpotent?


Polynome sind weder nilpotent, noch haben sie Eigenwerte. Du meinst:

"Ist eine Matrix mit Null als einzigem Eigenwert nilpotent?"

Die Antwort ist: Es kommt auf den Körper an.

Ist der Körper der der komplexen Zahlen, dann ist die Antwort JA (Stichwort: Satz von Cayley-Hamilton).

Aber schon in IR ist die Antwort NEIN. Hier ein Gegenbeispiel:



Die Matrix hat (in IR) nur einen Eigenwert - nämlich Null. Aber für kein natürliches n ist Das braucht man auch gar nicht nachzurechnen: Wenn das so wäre, dann wäre die Matrix auch mit C als Körper nilpotent, was aber nicht sein kann, denn in C hat sie die Eigenwerte 0, i und -i, also nicht nur die Null.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nilpotente Matrizen mit Eigenwert 0
http://www.springerlink.com/content/j62p65818x425430/

Ich kannte den Begriff auch nicht und bin auch nicht der Meinung, dass die das meinte, oder? Augenzwinkern
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Na gut. Ich nehme meine erste Behauptung zurück. Augenzwinkern
Sabinee Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nilpotente Matrizen mit Eigenwert 0
Ja es tut mir leid, habs falsch formuliert.

Web Fritzi wie zeige ich das denn im Komplexen.
Danke erstmal für das Gegenbeispiel.

Cayley-Hamiltion sagt aus:
Sei . Dann gilt:
d.h

Wie kann ich aus dem folgern, dass es im Körper der Komplexen Zahlen gilt?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Wie sieht denn das charakteristische Polynom einer Matrix in C aus, deren einziger Eigenwert die Null ist?

EDIT: Für mich geht der Satz von C-H so: "Sei A eine quadratische Matrix mit Einträgen aus einem Körper K und p ihr charakteristisches Polynom. Dann gilt p(A) = 0."
 
 
Sabinee Auf diesen Beitrag antworten »

So Sieht das aus.
Folgt daraus etwa das hier?

nilpotent.

Hast natürlich wieder recht, habs auch korrigiert.

Da ich am Montag meine Klausur schreibe und die ganze Zeit am lernen bin ist die Konzentration ein wenig dahin. Hoffe du hast dafür Verständnis.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau so geht das. Viel Erfolg bei der Klausur! Wink
Sabinee Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön WebFritzi.

Lieb von dir Mit Zunge
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin ja auch n ganz Lieber - wenn man mich nur lässt. Augenzwinkern

EDIT: Rechschraipunnk
Michelle_456 Auf diesen Beitrag antworten »

WebFritzi, dein Gegenbeispiel ist sehr einleuchtend.

Ich hab aber hier eine Aufgabe stehen, in der ich zu beweisen habe:

" Sei . Zeigen Sie: A ist nilpotent, d.h. \exists m \in \mathbb N , s.d. genau dann, wenn das charak. Polynom ist. "

Genau dann bedeutet ja, dass die Rückrichtung auch zu zeigen ist ... laut Angabe sind wir jedoch im Reellen. Das macht ja keinen Sinn, was dein Gegenbeispiel zeigt. Ist nun die Aufgabe falsch gestellt oder habe ich etwas falsch verstanden?


Ich sag schon mal Danke im Voraus.

Michelle
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ist nun die Aufgabe falsch gestellt oder habe ich etwas falsch verstanden?


Die Aufgabe ist völlig richtig. Die Matrix die Webfritzi gepostet hat, hat nicht das characteristische Polynom sondern .

Oder in anderen Worten, wenn 0 der einzige Eigenwert ist, dann ist nicht zwingend das characteristische Polynom . In Körpern wo jedes Polynom in Linearfaktoren zerfällt allerdings schon. (Also ist über C die Aussage wieder äquivalent, während über R sie es nicht ist)
Michelle_456 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, okay, da hab ich nicht richtig mitgedacht.

Danke!

Kannst du mir bei der Rücktrichtung vielleicht weiterhelfen?

Ich gehe ja davon aus, dass mein ist. Eine Matrix dazu könnte ja eine Dreiecksmatrix sein, mit Nullen auf der Diagonale, Einträgen auf dem oberen rechten Dreieck und ansonsten nur Nullen. Wenn ich die mit sich selbst potenziere, wird der obere Bereich mit den Werten immer kleiner ... wenn ich das m-mal mache verschwindet er irgendwann und es steht die Nullermatrix da.
Aber muss ich von einer oberen Dreiecksmatrix ausgehen? Anders kann doch das charak. Polynom nicht so ausschauen, oder?


Ich weiss echt nicht mehr weiter ...
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist eine direkte Anwendung des Satzes von Cayley-Hamilton.
Michelle_456 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, da wär ich nie drauf gekommen.
Genügt es dann zu schreiben: "<==" folgt aus Caley-Hamilton?

Danke!
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ein wenig mehr darf es schon sein. Es sei das characteristische Polynom von A, dann ist wegen Cayley Hamilton ...
Michelle_465 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, Satz von Cayley-Hamilton ... "... jede quadratische Matrix ist Nullstelle ihres charak. Polynoms". Wie kann ich mir das vorstellen? Wie kann eine Matrix Nullstelle sein?

Hm, und dann gibt der Satz nicht mehr her für mich.

Hast du einen weiteren Denkanstoß? Danke!!!
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
jede quadratische Matrix ist Nullstelle ihres charak. Polynoms"


Sei p ein Polynom, wenn x eine Nullstelle von p ist dann gilt .

Cayley Hamilton sagt, die Matrix ist Nullstelle ihres characteristischen Polynoms. Mit anderen Worten, wenn man die Matrix ins characteristische Polynom einsetzt kommt Null heraus.
Michelle_456 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, das hab ich verstanden. Wie kann ich die Matrix "einsetzen"? Betrachte ich das charak. Polynom als eine Art 1x1 Matrix und multipliziere die beiden dann?
Ich stell mich wirklich doof an ... Cayley-Hamilton hab ich noch nie verstanden. verwirrt
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst mit Matrizen genauso Polynome bilden wie mit Zahlen.



ist ein Polynom vom Grad n in A.
Michelle_456 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, das sehe ich so zum ersten Mal.
Gut, nun weiss ich, dass wenn ich die Matrix ins charak. Polynom einsetze, dass es dann so aussieht.

Mein charak. Polynom ist aber gerade gleich , also wäre . Ich will ja von auf kommen, dazu müsste ja dann sein.

Heisst das also: da folgt mit Cayley-Hamilton, dass A eine Nullstelle seines charakterisitischen Polynoms sein muss, also , also ist A nilpotent ?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ja so geht das.
Michelle_456 Auf diesen Beitrag antworten »

Super, danke, das ist ja ein richtiger schöner Beweis.

In meiner Aufgabe steht, ich solle beweisen, dass ein m aus den natürl. Zahlen existiert, s.d. . Hier habe ich jedoch dastehen, dass gilt , wobei ja n die Anzahl meiner Zeilen/Spalten ist. m muss ja nicht zwingend gleich n sein. Wie kann ich das also für ein m beweisen?

Kann ich sagen: entweder ist m = n, dann gilt obiges.
Oder aber und , und sei , und . Dann existiert ein , s.d.

Wäre lieb, wenn du mir auch da noch schnell auf die Sprünge helfen könntest!
Danke.
Michelle_456 Auf diesen Beitrag antworten »

Ach, das ist wohl was durcheinander gekommen:

das ist natürlich unnötig/sinnlos und es soll natürlich heissen:
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ob Du eine beliebige natürliche Zahl m oder n nennst ist doch völlig egal. Du kannst genauso sagen es gibt eine Zahl mit .
Michelle_456 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist mir klar, mich stört nur, dass es genau das n, die Dimension meiner Matrix ist. Das würde ja bedeuten, ich muss diese so oft, also genau n mal, potenzieren, um überhaupt erstmal 0 zu erhalten. Dabei würde es ja auch reichen, sie nur m mal zu potenzieren, wobei m der Nilpotenzgrad ist. Verstehst du, was ich meine?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Du sollst zeigen das aus folgt das die Matrix Nilpotent ist. Du sollst also zeigen das es einen Index m gibt mit . Du sollst nicht den kleinsten Index finden. Für die Existenz reicht n völlig aus.
Michelle_456 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, vielen Dank für deine zahlreichen Beiträge und deine Hilfe Wink
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