Surjektivität

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Tobi_20 Auf diesen Beitrag antworten »
Surjektivität
Hallo

Nur kurz eine kleine Unklarheit bei mir.
In einer Lösung von einer Aufgabe, wo eine Abbildung

f1 : \mathbb R 2 --> \mathbb R , (x, y) --> x + y

und da steht in der Lösung zur Überprüfung der Surjektivität nur:

\mathbb R = 0 + \mathbb R = fn(=,\mathbb R ) => f surjektiv

Kann mir das jemand erklären, ich steh da auf dem Schlach.
Danke
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Bereits f(0,y) ist surjektiv
 
 
Tobi_20 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, ich kann nicht mit dem Formeleditor arbeiten Big Laugh

________________________________EDIT:


p.s falls das auch nicht hinaut ersetzt gedanklich die /mathbb R mit "IR"
tobi_20 Auf diesen Beitrag antworten »

Könnte mir das bitte jeman kurz erläutern, ich steh total aufem Schlauch und bräuchte schon detailliertere Begründngen. Wäre total nett.

Als weiteres Beispiel.

Aufgabe:

f2: IR2 -> IR , (x,y) -> x2 + y2 − 1 auf Surjektivität überprüfen

Die mir vorliegende Lösung:
f2(x,y) = x2 + y2 -1 > -2 für alle x,y (e) IR. -2 (e) IR ^ -2 (!e) f2=> f2 surjektiv


versteh ich komplett nicht. Wäre so froh, jemand könnte mir den Knopf lösen.

Vielen Dank
Tobi_20 Auf diesen Beitrag antworten »

Edit:
Aufgabe:

f2: IR2 -> IR , (x,y) -> x2 + y2 − 1 auf Surjektivität überprüfen
keine ahnug, wieso da son wirrwarr steht, das war nicht ich. Sorry

Aufgabe:

f2: IR2 -> IR , (x,y) -> x2 + y2 -1 auf Surjektivität überprüfen
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, der Wirrwarr warst wohl du...

Zitat:
Original von Tobi_20
f2: IR2 -> IR , (x,y) -> x2 + y2 -1 auf Surjektivität überprüfen


Das macht so nicht viel Sinn. Meinst du

f2: IR2 -> IR , (x,y) -> x + y -1 ???


Nun aber erstmal zu deiner ersten Aufgabe:

f : IR² --> IR, f(x,y) = x + y.

Ich geb dir mal ein reelles a vor. Gib du mir ein Paar (x,y), so dass f(x,y) = a.
Tobi_20 Auf diesen Beitrag antworten »

1.) nein, ich hab nochmal nachgeschaut, es sind wirklich x Quadrat + y quadrat -1

2.) Wenn ich dich Richtig verstehe z.b (0,a) oder (a/2,a/2)
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tobi_20
Die mir vorliegende Lösung:
f2(x,y) = x2 + y2 -1 > -2 für alle x,y (e) IR. -2 (e) IR ^ -2 (!e) f2=> f2 surjektiv

Das soll wohl bedeuten:

für alle . Also gilt und , also ist nicht surjektiv.

Im Übrigen könntest du dir das nächste Mal die Mühe machen, nicht einfach die Aufgabe rüberzukopieren - ich nehme an, genau daher kamen diese kryptischen Zeichen. So ein Minus kann man auch schon mal abschreiben. Und die Aufgabe ordentlich hinzuschreiben, wäre auch nicht schlecht, am besten noch mit dem Formeleditor!
Tobi_20 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja klar genau.

Aber ich bin mit dem Formeldeditor noch nicht vertraut.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tobi_20
1.) nein, ich hab nochmal nachgeschaut, es sind wirklich x Quadrat + y quadrat -1


Dann schreib das demnächst auch.


Zitat:
Original von Tobi_20
2.) Wenn ich dich Richtig verstehe z.b (0,a) oder (a/2,a/2)


Genau. Kannst du das nun für jedes reelle a machen, das ich dir gebe?
Tobi_20 Auf diesen Beitrag antworten »

1.) Ja die x2 sollte eigentlich x quadrat darstellen, ich hab keine ahnung, wo ich das 2 Hochstelle , sorry.

2.)
In diesem Fall scheint es mir schon danach auszusehen, dass es für jedes a geht und somit surjektiv ist.

Aber genügt es dann wirklich zu schreiben:
IR= 0+IR = f1(0,IR) => surjektiv

Hm so betrachtet, heisst das einfach, dass es für jedes IR gilt, sehe ich da richtig?

Danke schonmal, ich glaube langsam kapier ichs.

Jedoch noch als letztes, folgendes beispiel:



schon anspruchsvoller...da hab ich sogar mit der injektivität mühe.
Tobi_20 Auf diesen Beitrag antworten »

Edit:
Folglich wäre auch

korrekt?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tobi_20
1.) Ja die x2 sollte eigentlich x quadrat darstellen, ich hab keine ahnung, wo ich das 2 Hochstelle , sorry.


Z.B. mit ALT und 2. Aber noch besser mit unserem Formeleditor!



Zitat:
Original von Tobi_20
In diesem Fall scheint es mir schon danach auszusehen, dass es für jedes a geht und somit surjektiv ist.


Sehr richtig.


Zitat:
Original von Tobi_20
Aber genügt es dann wirklich zu schreiben:
IR= 0+IR = f1(0,IR) => surjektiv


Ein bisschen sehr kurz. Ich würd's so machen: "Sei a aus IR beliebig. Dann ist f(a,0) = a. Also ist f surjektiv."


Zitat:
Original von Tobi_20
Hm so betrachtet, heisst das einfach, dass es für jedes IR gilt, sehe ich da richtig?


Es gibt nur ein IR!



EDIT: Sowas wie IR/2 gibt es nicht.
Tobi_20 Auf diesen Beitrag antworten »

äh klar, ich meinte "jedes a"

zu f3

Wenn ich da versuche die Injektivität zu zeigen, ist das ja schon erheblich schwieriger, da kann man lange nach Beispielen suchen. Wie geht man da am besten vor. Irgendwie formal lösen?
Tobi_20 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mich falsch ausgedrückt ich meinte damit:

Sei a aus IR beliebig. Dann ist f(a/2,a/2) = a. Also ist f surjektiv.
ist das korrekt?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

So korrigiert ist es korrekt. Ich wusste natürlich, was du meinst, aber das, was du geschrieben hattest, war halt Bockmist. Augenzwinkern
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn formal Injektivität?
Tobi_20 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja grosser Bockmist :-D

Ehm also, bei vorherigen beispielen suchte man einfach ein Beispiel, wos nicht passte, weils so einfach war und da ists halt schon schwerer, wie macht man es dann da. Mit Formal meine ich z.b so f3(x1,y1) =f3 (x2,y2) oder so, aber was man dann machen muss... ka
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tobi_20
Mit Formal meine ich z.b so f3(x1,y1) =f3 (x2,y2) oder so


Ja, nicht ganz:

f3 ist injektiv per Definition, wenn aus f3(x1,y1) =f3 (x2,y2) stets folgt: (x1,y1) = (x2,y2) bzw. x1 = x2 und y1 = y2.

Die Funktion f3 IST injektiv. Kannst du das zeigen? Es geht darum, ein einfaches lineares Gleichungssystem zu lösen.
Tobi_20 Auf diesen Beitrag antworten »

Hm muss überlegen.

vielleicht

x1 + 2y1 = x2 + 2y2 (würde dann nicht x1=xx2 daraus folgen, aber wie zeigt man das?)
2x1 - y1 = 2x2-y2
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