Konvergenz bei Folgen und Reihen

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Tiamat Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz bei Folgen und Reihen
N'abend,

ich hab mal ein paar Fragen / Überlegungen und würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte.

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1. Die Reihe sei konvergent. Folgt daraus, dass auch die Reihe konvergent ist?

Eine Reihe ist doch eine Folge. Und hier fällt das erste Glied der Reihe bzw. Folge weg. Damit erhalte ich eine Teilfolge. Ich weiß aus der Vorlesung, dass wenn eine Folge konvergiert, auch alle Teilfolgen (gegen den gleichen Grenzwert) konvergieren. Demnach müsste doch auch die zweite Reihe konvergieren. Stimmt das?

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2. Die Reihe sei für konvergent. Ist diese Reihe dann auch für konvergent?

Dazu habe ich mir überlegt:





Die zweite Reihe ist für x = -1 also eine alternierende Reihe und die sind nach dem Leibnizkriterium nur konvergent, wenn eine monotone Nullfolge ist. Wir wissen für x = 1 aber nur, dass eine Nullfolge ist und eben nicht auch zwingend monoton sein muss. Es kann doch sein, dass es an Monotonie fehlt. Die Folge ist doch z. B. auch eine Nullfolge, aber nicht monoton. Deshalb ist die Reihe für x = -1 nicht unbedingt konvergent. Stimmt das?

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3. Ich habe wieder dieselbe für x = 1 konvergente Reihe wie bei Aufgabe 2. Diesmal stellt sich aber die Frage, ob diese Reihe für x = -0,5 konvergent ist.

Nur leider weiß ich jetzt nicht, wie ich da vorgehen soll. Kann mir jemand helfen?

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4. Wahr oder falsch? Es gibt Potenzreihen, die für keine reelle Zahl konvergent sind.

Auch hier weiß ich leider nicht weiter.

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5. Wahr oder falsch? Es gibt Potenzreihen, die für keine reelle Zahl divergent sind.

Das müsste wahr sein. Denn ich kenne die Exponentialreihe , die für alle reellen x-Werte gegen strebt. Ich finde also keinen x-Wert, für den diese Reihe divergiert. Liege ich da richtig?

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Ich weiß, ich habe viele Fragen auf einmal gestellt. Leider bin ich mir bei diesem Thema sehr unsicher, ist für mich irgendwie nicht so recht greifbar. Ich hab auch echt versucht, was Gescheites hinzukriegen. Wär gut, wenn jemand zurückschreiben könnte.

Ach so, noch was, ich hab mal nach Potenzreihen gegoogelt. Da liest man öfter von dem Begriff "Konvergenzradius". Falls jemand damit argumentieren sollte, muss ich leider passen. Der Begriff kam nicht in der Vorlesung vor und ist mir unbekannt.
MI Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz bei Folgen und Reihen - Hilfe!!!
zu 1: Ein strenger Beweis ist das natürlich nicht. Aber deine Idee stimmt.

zu 2: Gilt für alle a_i? Wenn das nicht in der Aufgabe steht, dann könnte ja schon die gegebene Reihe für x=1 eine alternierende Leibniz-Reihe sein - die andere Reihe wäre dann etwas völlig anderes.
Zumal das Leibniz-Kriterium soweit ich weiß auch keine genau-dann Beziehung ist.

zum Rest: Was weißt du über Potenzreihen? Sagt dir "Konvergenzradius" etwas? Was weißt du über den Konvergenzradius? Nehmen wir an, die Potenzreihe ist in einem Punkt konvergent. Was heißt das?

Gruß
MI
Tiamat Auf diesen Beitrag antworten »

zu 2: In der Aufgabe steht nicht, dass zu gelten hat. Von daher könnte es sich auch um eine nicht-alternierende Reihe handeln. Und dann müsste meine Überlegung doch stimmen, oder? Dann kann es ja diesen Unterschied zwischen "Nullfolge" und "monotoner Nullfolge" geben.



zum Rest: Leider kenne ich den Konvergenzradius nicht. Alles, was ich aus der Vorlesung über Potenzreihen weiß, ist, dass die vom Typ sind. Zwei Spezialfälle wurden dann vorgestellt: , welche für alle konvergiert, und die Exponentialreihe, die ich als mögliche Lösung für Aufgabe 5 angegeben habe.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Zitat:
Original von Tiamat
1. Die Reihe sei konvergent. Folgt daraus, dass auch die Reihe konvergent ist?

Eine Reihe ist doch eine Folge. Und hier fällt das erste Glied der Reihe bzw. Folge weg. Damit erhalte ich eine Teilfolge.

Das ist falsch. Die Partialsummenfolge der ersten Reihe ist . Die Partialsummenfolge der anderen Reihe ist . Du siehst, dass das keine Teilfolge von ist?! Natürlich konvergiert die zweite Reihe, der Grund ist aber ein anderer.

Zitat:
Original von Tiamat
2. Die Reihe sei für konvergent. Ist diese Reihe dann auch für konvergent?
[...]

Deine Überlegungen enthalten doch ein paar Fehler. Gib doch einfach eine Potenzreihe an, die in konvergiert und in divergiert. Wenn man etwas widerlegen will, sollte man nunmal einfach ein Gegenbeispiel angeben.

Zitat:
Original von Tiamat
4. Wahr oder falsch? Es gibt Potenzreihen, die für keine reelle Zahl konvergent sind.

Wenn du eine Potenzreihe hast, welche Zahl könntest du einsetzen, sodass diese Reihe immer konvergiert, egal was für Koeffizienten sie hat?

5. ist dann korrekt gelöst.
Tiamat Auf diesen Beitrag antworten »

zu 2: Ok, ich habs nochmal versucht mit Hilfe eines Gegenbeispiels. Also, ich kenne die alternierende harmonische Reihe , die konvergent ist. Aus dieser Reihe kann ich doch eine Potenzreihe machen mit . Für gilt doch stets . Für bleibe ich also bei der alternierenden harmonischen Reihe, die konvergent ist, und habe somit meine konvergente Potenzreihe.

Ich meine, dass für diese Potenzreihe nicht konvergent ist:

. Zum Schluss erhalte ich die harmonische Reihe, welche divergent ist, egal, ob ich davor jetzt -1 stehen habe und alle Vorzeichen umdrehe.

Das heißt, ich habe mit Hilfe der alternierenden harmonischen Reihe eine Potenzreihe gefunden, die für x = 1 konvergent, aber für x = -1 divergent ist und die Aufgabe ist erledigt. Stimmt das so?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genauso stimmt es. Freude
 
 
Tiamat Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, gut zu wissen. Dann bleiben noch die Aufgaben 1, 3 und 4.

zu 1: Da ist die Frage, ob gilt: .

Ich wollte ja erst fälschlicherweise mit Teilfolgen argumentieren. Jetzt überlege ich gerade, ob mir das Majorantenkriterium weiterhilft.

Es gilt doch: .

Jetzt habe ich mir das Ganze mal beispielhaft veranschaulicht mit der Reihe , von der ich weiß, dass sie konvergent ist und dass gilt. Die Folgenglieder von sind für - im Falle der ersten Reihe - doch immer größer als für - im Falle der zweiten Reihe. Damit ist doch aber das Majorantenkriterium erfüllt. ist konvergente Majorante von , weshalb auch konvergent ist.

Jetzt frage ich mich allerdings nur, ob das auch für alle anderen denkbaren Reihen - außer meiner Beispielreihe - gilt, denen eine Nullfolge zugrunde liegt.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Das Majoreantenkriterium greift hier nicht, da du ja nicht immer absolut konvergente Reihen hast. Beachte lieber, dass mit den oben definierten Partialsummen gilt:

.

Was folgt daraus für die Konvergenz von , wenn konvergiert?
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