Spezielle, verschobene Epanechnikov-Kerne

06.02.2009, 21:40

suzanna

Spezielle, verschobene Epanechnikov-Kerne

Hallo ihr Lieben,

ich habe hier eine Funktion, die folgendermaßen aussieht: $\begin{eqnarray*} f(y) = \min(c^2, y^2) - \beta \end{eqnarray*}$ , wobei 0 < beta < c^2

Das ist also einfach eine Parabel mit Scheitelpunkt -beta und abgeschnitten bei c^2 - beta > 0.

Jetzt hab ich zu jedem t genau ein s(t), so dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \int f(\frac{y-t}{s(t)})f_0(y) dy= 0 \end{eqnarray*}$ , wobei f_0 eine Dichte einer symmetrischen Wahrscheinlichkeitsverteilung F_0 ist, also z.B. die Standardnormalverteilung, also jedenfalls um 0 zentriert und sich zu 1 integrierend.

Jetzt soll ich zeigen, dass wenn $\begin{eqnarray*} t \rightarrow \pm \infty \end{eqnarray*}$ , dann auch s gegen unendlich.

Das ist mir zwar anschaulich klar, aber ich weiß nicht genau, wie ich es hinschreiben soll.
Wenn t gegen unendlich abwandert, dann hab ich meine abgeschnittene Parabel irgendwo auf der x Achse im Unendlichen hängen, während mein f_0 um 0 zentriert ist. D.h. mein negativer Teil geht futsch.

sprich, wenn $\begin{eqnarray*} 0 < s < \infty \end{eqnarray*}$ , dann ist
$\begin{eqnarray*} \lim_{t \rightarrow \infty} f((y-t)/s) = c^2 - \beta \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \int (c^2 - \beta) f_0(y) dy= c^2 - \beta \end{eqnarray*}$ ,

Wie betrachte ich jetzt die restlichen fälle, wenn $\begin{eqnarray*} s \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} s \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ gleichzeitig?
Oder wie macht man das gescheiter?

06.02.2009, 22:26

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Ich nehme mal an, dass es hier nur um positive Funktionen $\begin{eqnarray*} s(t) \end{eqnarray*}$ geht, richtig?

Zunächst mal würde ich der Übersichtlichkeit wegen umparametrisieren $\begin{eqnarray*} g(y) := c^2-\beta-f(y) \end{eqnarray*}$ , d.h., es ist dann $\begin{eqnarray*} g(y) = \max(0,c^2-y^2) \end{eqnarray*}$ , womit deine Forderung zu

$\begin{eqnarray*} \int g\left( \frac{y-t}{s(t)} \right) f_0(y) ~ \dd y = \int\limits_{t-cs(t)}^{t+cs(t)} g\left( \frac{y-t}{s(t)} \right) f_0(y) ~ \dd y = c^2-\beta \end{eqnarray*}$

wird. Nun kann man die linke Seite gemäß $\begin{eqnarray*} g(x) \leq c^2 \end{eqnarray*}$ nach oben abschätzen und erhält damit

$\begin{eqnarray*} c^2-\beta \leq \int\limits_{t-cs(t)}^{t+cs(t)} c^2 f_0(y) ~ \dd y = c^2\left( F_0(t+cs(t)) - F_0(t-cs(t)) \right) \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{\beta}{c^2} \leq F_0(t+cs(t)) - F_0(t-cs(t)) \leq 1-F_0(t-cs(t)) \end{eqnarray*}$

und somit $\begin{eqnarray*} \frac{\beta}{c^2} \geq F_0(t-cs(t)) \end{eqnarray*}$ .

Nun gibt es aber aufgrund der Monotonie der Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_0 \end{eqnarray*}$ einen Punkt $\begin{eqnarray*} t^* \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} F_0(t) > \frac{\beta}{c^2} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} t \geq t^* \end{eqnarray*}$ . Also muss für das Funktionsargument $\begin{eqnarray*} t-cs(t) < t^* \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ gelten, was zu

$\begin{eqnarray*} s(t) > \frac{t-t^*}{c} \to \infty \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t \to \infty \end{eqnarray*}$

führt. smile

Ja, was gefühlsmäßig klar ist, ist manchmal nicht so einfach aufzuschreibem. Aber es geht, wie du siehst. Es geht vielleicht noch geraffter, aber ich wollte den Erkenntnisweg auch ein bisschen beibehalten. Augenzwinkern

EDIT: Deine Überschrift ist übrigens eine echte Katastrophe. Wenn schon "speziell", dann vielleicht sowas wie

Spezielle, verschobene Epanechnikov-Kerne

07.02.2009, 17:04

suzanna

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Danke für die Antwort.
Ja, s(t) ist positiv.

Lass mich kurz rekapitulieren, was du gemacht hast. Parametrisieren ist klar. Wenn für beliebiges t ein s(t) existiert, so dass $\begin{eqnarray*} \int f(\frac{y-t}{s(t)})dF_0(y) = 0 \end{eqnarray*}$ , dann muss für ein solches t und s(t) für die Funktion g(y) gelten:

$\begin{eqnarray*} \int g(\frac{y-t}{s(t)})dF_0(y) = c^2 - \beta \end{eqnarray*}$ .

Da g nur innerhalb des Intervalls [t - cs(t), t + c s(t)] nichtnull ist, kann ich auch

$\begin{eqnarray*} \int_{t -cs(t)}^{t + cs(t)} c^2 - (\frac{y-t}{s(t)})dF_0(y) = c^2 - \beta \end{eqnarray*}$ schreiben.

Da das Minimum von f (y) mein -beta ist, kann g(y) maximal $\begin{eqnarray*} c^2 \end{eqnarray*}$ werden.

D.h. $\begin{eqnarray*} c^2 - \beta = \int_{t -cs(t)}^{t + cs(t)} g(\frac{y-t}{s(t)})dF_0(y) \leq \int_{t -cs(t)}^{t + cs(t)} c^2 dF_0(y) = \ldots \end{eqnarray*}$

Ansonsten ist, glaub ich, alles klar, super!

Und sorry für die miese Betitelung, mir ist gerade nichts Gutes eingefallen.

Durch c^2 teilen. Dann ist $\begin{eqnarray*} F_0[t + cs(t)]\leq 1 \end{eqnarray*}$ , denn nur $\begin{eqnarray*} F(\infty) = 1 \end{eqnarray*}$

Sollte man vielleicht noch einmal dazusagen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{\beta}{c^2}<1 \end{eqnarray*}$ , weil c^2 größer beta vorausgesetzt ist? Denn nur weil F_0 monoton ist und für große argumente irgendwann gegen 1 läuft überschreitet es für ein bestimmtes t dann diese grenze $\begin{eqnarray*} \frac{\beta}{c^2}<1 \end{eqnarray*}$ .

07.02.2009, 17:32

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Zitat:

Original von suzanna
Sollte man vielleicht noch einmal dazusagen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{\beta}{c^2}<1 \end{eqnarray*}$ , weil c^2 größer beta vorausgesetzt ist?

Ja schon, denn das wird benötigt.

Im übrigen lässt sich ausgehend von

Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} 1-\frac{\beta}{c^2} \leq F_0(t+cs(t)) - F_0(t-cs(t)) \end{eqnarray*}$

auch das Verhalten für $\begin{eqnarray*} t\to -\infty \end{eqnarray*}$ untersuchen. Hier würde man dann einfach $\begin{eqnarray*} F_0(t-cs(t)) \geq 0 \end{eqnarray*}$ nutzen, um aus dem sich dann ergebenden

$\begin{eqnarray*} F_0(t+cs(t)) \geq 1-\frac{\beta}{c^2} \end{eqnarray*}$

auch $\begin{eqnarray*} s(t)\to \infty \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t\to -\infty \end{eqnarray*}$ zu folgern.

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