Kreisfläche zu Paraboloid umformen

07.02.2009, 01:28

mnb

Kreisfläche zu Paraboloid umformen

Hallo

Ich habe eine Platte in Kreisform die ich zu einem Paraboloid mit vorgegebenen Radius biegen will

vorgegebenen Brennpunkt b : 2 m

Kreisradius rK : 10 cm = 0,01 m

Höhe h: ?

Wie rechne ich die Höhe aus mit vorgegebenen Brennpunkt wenn die Kreisfläche gleich der Parabelfläche sein soll.

Brennpunkt b wenn y=a*x^2
b = 1/(4*a)

Kreisfläche AK = pi*r^2

de.wikipedia.org/wiki/Kreisfl%C3%A4che

Paraboloid AP = pi*r*((r^2+4*h^2)^(3/2))-r^3)/(6*h^2)

de.wikipedia.org/wiki/Paraboloid

07.02.2009, 14:20

mYthos

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Und?
Was hast du dir bisher schon überlegt? Eigene Ansätze, Ideen?

Die Aufgabenstellung ist ziemlich diffus.

Vorschlag: Stelle die Aufgabe sauber, vollständig und im Klartext ein und hänge vielleicht eine eventuell im Text gegebene Skizze an (Bild kann im Board hochgeladen werden). Und bereits angestellte eigene Überlegungen könntest du auch bereits mit einfließen lassen.

mY+

EDIT: Bemerkung über die Links gestrichen.

07.02.2009, 20:08

mnb

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RE: Kreisfläche zu Paraboloid umformen
erstmal Gott

es sollte schnell gehen

2 Versuch

Die Frage:

wie berechne ich die Höhe h vom Paraboloid ?

Ich habe eine Platte in Kreisform die ich zu einem Paraboloid mit vorgegebenen Brennpunkt biegen will

Was ich schon habe:

vorgegebenen Brennpunkt b : 2 m

Kreisradius r_K : 10 cm = 0,01 m

Brennpunkt b wenn y=a*x^2 wobei y = die Höhe und x = der Paraboloidradius ist

y = a*x^2 = h = a*r^2

Kreisfläche A_K = pi*r_K^2

Paraboloidfläche A_P = pi*r*((r^2+4*h^2)^(3/2))-r^3)/(6*h^2)

Berechnung:

r_K = Kreisradius

r_P = Paraboloidradius

pi*r_K^2 = pi*r_P*(( r_P ^2+4*h^2)^(3/2))- r_P ^3)/(6*h^2)

r_K^2 / r_P = ((r_P ^2+4*h^2)^(3/2))- r_P ^3)/(6*h^2)

07.02.2009, 23:55

mYthos

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Der Brennpunkt einer Parabel $\begin{eqnarray*} x^2 = 2py \end{eqnarray*}$ hat die Koordinaten F(0; p/2), wobei p der Parameter der Parabel ist. Dies folgt aus der Leitliniendefinition der Parabel (der Brennpunkt hat von der Leitlinie den Abstand p und der Scheitel teilt diesen in der Mitte).

Umgelegt auf die Gleichung $\begin{eqnarray*} ax^2 = y \end{eqnarray*}$ bedeutet dies:

$\begin{eqnarray*} x^2 = \frac{y}{a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2p = \frac{1}{a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{p}{2} = \frac{1}{4a} \end{eqnarray*}$

Der Brennpunktsabstand ist nun mit b = 2 gegeben, somit ist

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4a} = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = \frac{1}{8} \end{eqnarray*}$ und die Parabelgleichung

$\begin{eqnarray*} x^2 = 8y \ \text{oder} \ y = \frac{x^2}{8} \end{eqnarray*}$

Auf ihr liegt der Punkt $\begin{eqnarray*} (r_p; h) \end{eqnarray*}$ , wenn du diesen einsetzt, ergibt sich eine erste Beziehung zwischen r_p und h; zur zweiten gelangst du durch das Gleichsetzen der beiden Flächen.

Das sollte dir weiterhelfen.

mY+

EDIT: Entschuldige bitte die Bemerkung über deine Links in meinem ersten Beitrag (editiert), der zweite ist tatsächlich hilfreich ... (die Oberfläche mittels Integral ausrechnen geht natürlich, ist aber rechenintensiv).

[r = 7,753; h = 7,514]

08.02.2009, 20:58

mnb

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RE: Kreisfläche zu Paraboloid umformen
Ich habe einen kleinen Fehler entdeckt

in der Zeichnung statt den Radius habe ich den Durchmesser angegeben

und ich konnte es noch mal vereinfachen

$\begin{eqnarray*} y=x^2/(4*f)=h=r^2/(4*f) \end{eqnarray*}$

pi*r_P^2 = pi*r_P*(( r_P^2+4*h^2)^(3/2))-r_P ^3)/(6*h^2)

über

pi*r*((r^2+4*(r^2/(4*f))^2)^(3/2)-r^3)/(6*(r^2/(4*f))^2)

zu

$\begin{eqnarray*} \frac{8*pi*f^2*(Sqrt[(r^2+r^4/(4*f^2))^3]-r^3)}{3*r^3} \end{eqnarray*}$

nur noch nach r umstellen und gleichsetzen

08.02.2009, 21:09

mYthos

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Dein Gemisch aus LaTex und Nicht-Latex ist schwer zu lesen.
Aber der Angabefehler ändert doch nichts an der gesamten Methode, erst aus der Brennpunktseigenschaft die erste Beziehung herzustellen.

mY+

08.02.2009, 21:30

mnb

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Zitat:

Original von mYthos
Dein Gemisch aus LaTex und Nicht-Latex ist schwer zu lesen.mY+

Es ist mein erster Beitrag habe Latex einfach von dir rüber kopiert

Könntest du mir beim umstellen nach r helfen denn ich Versuch dar durch auf dein Ergebnis von [r = 7,753; h = 7,514] zu kommen um es allgemein zu fassen für alle Werte von r und h.

08.02.2009, 22:03

mYthos

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Ach so, es ist also nur in der Zeichnung falsch angegeben ... meine Ergebnisse beziehen sich ohnehin auf jene Werte, die den Radius bezeichnen. Ich setze mal $\begin{eqnarray*} r_p = r \end{eqnarray*}$ . Wobei ich nicht weiss, was das f bei dir bedeutet! Wenn es der Brennpunktsabstand (??) ist, diesen haben wir doch schon verarbeitet.

Es gilt also $\begin{eqnarray*} r^2 = 8h \end{eqnarray*}$ und mit $\begin{eqnarray*} h = \frac{r^2}{8} \end{eqnarray*}$ gehen wir in die Oberflächenformel des Paraboloides ein und setzen diese gleich $\begin{eqnarray*} 100 \pi \end{eqnarray*}$ , das ist die Kreisfläche für den Radius 10, und kürzen dann gleich durch $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} O_p = \frac{r \pi}{6h^2}((r^2 + 4h^2)^{\frac{3}{2}} - r^3) \end{eqnarray*}$
-----------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} \frac{64r}{6r^4}((r^2 + \frac{r^4}{16})^{\frac{3}{2}} - r^3) = 100 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (r^2 + \frac{r^4}{16})^{\frac{3}{2}} - r^3 = \frac{75}{8}r^3 \end{eqnarray*}$

Jetzt wird's aber schon leicht (weiter vereinfachen, faktorisieren, kürzen ..) und du darfst alleine weiterrechnen.

mY+

08.02.2009, 22:34

mnb

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f = b = Brennpunktsabstand

Gansschön knifflig? verwirrt

und das in meinem alter

08.02.2009, 23:24

mYthos

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Was heisst in deinem Alter, du Jungspund, schau mal mich an!

Mit f allgemein kannst du dasselbe machen wie vorhin mit 2, wenn du es unbedingt garstig haben willst. Es ist eben dann

$\begin{eqnarray*} r^2 = 4fh \end{eqnarray*}$

und wieder gehe analog wie oben mit $\begin{eqnarray*} h = \frac{r^2}{4f} \end{eqnarray*}$ in die Oberflächenformel ein. Danach wird's ähnlich wie vorhin mit der 2 eine relativ normale Wurzelrechnung, mit Ausklammern und Kürzen, letztendlich kriegt man

$\begin{eqnarray*} r = 2f \sqrt{\left( 1 + \frac{75}{2f^2} \right)^{\frac{2}{3}}-1} = 2f \sqrt{\left( \frac{75+2f^2}{2f^2} \right)^{\frac{2}{3}}-1} \end{eqnarray*}$

Aber den Weg dahin musst du schon selbst ausrechnen, alles kann ich nicht für dich machen Big Laugh

mY+

09.02.2009, 00:31

mnb

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Ich bin 73 gelehnter Polsterer mein Enkel half mir dabei dies zu erstellen er ist 12 ich lerne grade den Computer zu benutzen er ist jetzt nicht mehr wach ich versuche es alleine von so hoher Mathematik habe ich keine große Ahnung

Ich habe als Rentner genug Zeit um die Wochen mit meinem die Zeit im Bastelkeller zu verbringen

tschüss und fielen dank von uns beiden Wink

09.02.2009, 01:11

mYthos

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Zitat:

Original von mnb
Ich bin 73 gelehnter Polsterer mein Enkel half mir dabei dies zu erstellen er ist 12 ich lerne grade den Computer zu benutzen er ist jetzt nicht mehr wach ich versuche es alleine von so hoher Mathematik habe ich keine große Ahnung
...

Hut ab! Auch vor deinem Enkel!

mY+

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