herleitung der ableitung des nat. logarithmus

07.02.2009, 17:05	Riesch	Auf diesen Beitrag antworten »
herleitung der ableitung des nat. logarithmus hallo, die fragestellung ist: beweise warum die ableitung des natürlichen logarithmus f' (x) = x ^-1 ist. könnt ihr mir da weiterhelfen? da wäre wirklich super
07.02.2009, 17:20	uwe-b	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit der Umkehrregel. Wie das gemacht wird, sieht man auch bei Wikipedia. --> http://de.wikipedia.org/wiki/Umkehrregel
08.02.2009, 12:44	Riesch	Auf diesen Beitrag antworten »
danke. mein momentaner stand, an dem ich nicht weiter komme: ich nehme die funktion f (x) = e^x, da ich diese ableiten kann. die umkehrfunktion wäre also der nat. log. f (x) = lnx. was ist in der definition (bei wikipedia der oberste abschnitt) gemeint mit y = f (x) ? beim wiki-beispiel zum nat. log. : der 1. und 2. schritt ist mir klar, aber warum lautet die ableitung so wie sie da steht? wie kommt das e^lnx zustande? freue mich über weitere hilfe!
08.02.2009, 14:06	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wiki kann manchmal auch verwirren ... ist aber ein Denkanstoß für eigene Überlegungen. Wir gehen von der Funktion $\begin{eqnarray} x = e^y \end{eqnarray}$ aus, weil dies die Umkehrfunktion der logarithmischen Funktion ist. Wir lassen die Variablen zunächst vertauscht, denn bei der Umkehrfunktion stehen sie dann am richtigen Platz. $\begin{eqnarray} x = e^y \leftrightarrow y = \ln x \ \text{... gesucht ist} \ y' = \frac{\dd y}{\dd x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\dd x}{\dd y} = e^y = x (!) \end{eqnarray}$ Nachdem die Umkehrregel lautet: $\begin{eqnarray} \frac{\dd y}{\dd x} = \frac{1}{\frac{\dd x}{\dd y}} \end{eqnarray}$ setze für den unteren Bruch das obige Ergebnis ein und du bist fertig! mY+
08.02.2009, 14:22	Riesch	Auf diesen Beitrag antworten »
wofür steht das d?
08.02.2009, 14:31	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das d bezeichnet das Differential, es ist eine formale Schreibweise. dy/dx ist also die Ableitung von y (=f(x)) nach x oder man sagt eben auch: von f(x) nach x und ist gleichbedeutend mit y ' oder f '(x). dx, dy sind sogenannte Differentialoperatoren. Das d kann nicht von x oder y losgelöst werden, dx oder dy ist ein Zeichen. Es sieht in der Latex-Schreibweise nur etwas anders aus. Damit soll betont werden, dass dx keine beliebige Variable ist (schräge Schrift) sondern ein formales Zeichen (gerade Schrift). $\begin{eqnarray} dx \ ... \ \dd x \end{eqnarray}$ mY+
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