Kombination mit Zurücklegen

07.09.2006, 20:40	paul-us	Auf diesen Beitrag antworten »
Kombination mit Zurücklegen Kann mir jemand die Formel für die 'Kombination mit Zurücklegen' herleiten. Wäre sehr dankbar.
07.09.2006, 20:42	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
mit oder ohne Reihenfolge?
07.09.2006, 21:57	Paul_H	Auf diesen Beitrag antworten »
Soll die Reihenfolge eine Rolle spielen, ist die Formel ja $\begin{eqnarray} n^{m} \end{eqnarray}$ bei der Ziehung von m aus n Kugeln. Das ist ja offensichtlich, man hat bei der ersten Ziehung die Chance für eine ganz bestimmte Kugel von 1:n, dann wird die Kugel zurückgelegt und man hat erneut die Chance von 1:n eine bestimmte Kugel zu ziehen, also $\begin{eqnarray} n \cdot n \end{eqnarray}$ Bei m Ziehungen also $\begin{eqnarray} n^{m} \end{eqnarray}$ Soll die Reihenfolge der Kugeln keine Rolle spielen, ist die Formel $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n+m-1 \\ m \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Versuch' jetzt mal die Menge aller möglichen Tupel vorzustellen, die zustande kommen können (bei solch einer Ziehung): $\begin{eqnarray} \{ (a_1 , ... , a_m): 1 \le a_1 \le ... \le a_m \le n \} \end{eqnarray}$ Jetz kommt der Clou bei dem Beweis: Diese Menge wird durch $\begin{eqnarray} b_i := a_i + i - 1 \end{eqnarray}$ bijektiv auf die Menge aller Tupel $\begin{eqnarray} \{ (b_1 , .. , b_m): 1 \le b_1 < ... < b_i < ... < b_m \le n+m-1 \} \end{eqnarray}$ abgebildet. Wenn du DAS verstanden hast, überlege mal, welche Mächtigkeit letztere Menge hat.
07.09.2006, 23:15	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Ausdruck "Kombination" sagt eigentlich, dass es ohne Reihenfolge sein soll. Arthur hat Paul_Hs Bijektion hier schonmal gegeben und hier habe ich versucht, das nochmal näher zu erklären. Gruß vom Ben

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