Offene/ abgeschlossene Mengen in einem metrischen Raum

08.02.2009, 14:11

Max Simon

Offene/ abgeschlossene Mengen in einem metrischen Raum

Hallo,

Ich hab noch Probleme, mit metrischen Räumen umzugehen. Vorallem das entscheiden, ob Mengen offen oder abgeschlossen sind, ist auf anderen Mengen als IR schwierig.

Also gegeben sei die Menge

$\begin{eqnarray*} X = [0,1] \cup (2,4) \end{eqnarray*}$

Sind nun die folgenden Teilmengen

$\begin{eqnarray*} A = [0,1] \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} B = (3,4) \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} C = \{ \frac{1}{n}; n\in \mathbb N\} \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} D = C \cup \{0\} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} E = X \end{eqnarray*}$

offen oder abgeschlossen oder gar beides oder werder das eine noch das andere (alles in X)???

Schon, dass es diese 4 Möglichkeiten gibt, will ich nicht verstehen.

Kann mir jemand helfen?

08.02.2009, 15:00

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Offene/ abgeschlossene Mengen in einem metrischen Raum
Welches sind denn innere Punkte, Häufungspunkte, isoliere Punkte, Randpunkte usw. der betrachteten Mengen? Damit kannst du es aufrollen.

Grüße Abakus smile

08.02.2009, 18:07

Max Simon

Auf diesen Beitrag antworten »

Also offen ist eine Teilmenge U, wenn für jedes $\begin{eqnarray*} x \in U \end{eqnarray*}$ ein Epsilon existiert, sodass die Kugel B[x, Epsilion] eine Teilmenge von U ist.
Abgeschlossen ist eine Teilmenge U, wenn alle konvergenten Folgen, deren Folgeglieder alle in U liegen, gegen einen Grenzwert, der auch in U liegt, konvergieren. Sie ist auch abgeschlossen, wenn das Komplement offen ist.

Die Menge A hat die inneren Punkte (0, 1). 0 und 1 sind Randpunkte.
Das Komplement der Menge A ist X\A = (2, 4). Weil die Folge $\begin{eqnarray*} xn := \frac{1}{n}+2 \end{eqnarray*}$ gegen 2 konvergiert, die nicht Element von X\A ist, ist X\A offen und damit A abgeschlossen.
Allerdings ist die 2 ja gar kein Element von X. Ist das ein Problem? Und ist die Menge A außerdem noch offen, denn man könnte ja auch so argumentieren:?

Für alle Zahlen x aus A gibt es eine Kugel mit Radius Epsilon>0, die eine Teilmenge von A ist. Für die inneren Punkte ist das klar. Die Randpunkte 0 und 1 haben auch eine Epsilon-Kugel, welche eine Teilmenge von A ist, denn:
Stellt man sich die Mengen X und A als Zahlengerade vor, schließt die Kugel um 0 nur ein Intervall rechts von 0 ein, weil links der 0 ja gar nix mehr existiert (analog mit Randpunkt 1).

Deshalb ist meines Erachtens die Menge A sowohl offen, als auch abgeschlossen.

Kann das sein, oder hab ich einen Fehler in meinen Überlegungen?

08.02.2009, 20:04

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Max Simon
Die Menge A hat die inneren Punkte (0, 1). 0 und 1 sind Randpunkte.

Wenn 0 Randpunkt sein soll, müssten für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ die Kugeln $\begin{eqnarray*} K_{\epsilon}(0) \end{eqnarray*}$ sowohl Punkte der Menge A als auch des Komplements enthalten. Das Komplement ist (2, 4) in X, und damit enthalten genügend kleine Kugeln eben keine Punkte des Komplements. Analog die 1.

Zitat:

Das Komplement der Menge A ist X\A = (2, 4). Weil die Folge $\begin{eqnarray*} xn := \frac{1}{n}+2 \end{eqnarray*}$ gegen 2 konvergiert, die nicht Element von X\A ist, ist X\A offen und damit A abgeschlossen.
Allerdings ist die 2 ja gar kein Element von X. Ist das ein Problem?

Ja, das ist ein Problem: die Folge ist nicht konvergent in X, da ja kein Grenzwert existiert.

Zitat:

Und ist die Menge A außerdem noch offen, denn man könnte ja auch so argumentieren:?

Für alle Zahlen x aus A gibt es eine Kugel mit Radius Epsilon>0, die eine Teilmenge von A ist. Für die inneren Punkte ist das klar. Die Randpunkte 0 und 1 haben auch eine Epsilon-Kugel, welche eine Teilmenge von A ist, denn:
Stellt man sich die Mengen X und A als Zahlengerade vor, schließt die Kugel um 0 nur ein Intervall rechts von 0 ein, weil links der 0 ja gar nix mehr existiert (analog mit Randpunkt 1).

Ja, genau deshalb ist A offen.

Zitat:

Deshalb ist meines Erachtens die Menge A sowohl offen, als auch abgeschlossen.

Ja, korrekt.

Deine Probleme liegen noch in der genauen Anwendung der Begriffe. Schau dir die Definitionen in jedem Detail an und checke die Eigenschaften durch.

Grüße Abakus smile

09.02.2009, 13:14

Max Simon

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank erstmal für die schnellen Antworten Abakus! Freude

Ok, 0 und 1 sein keine Randpunkte. Hab ich verstanden. Somit sind auch das innere Punkte. Somit ist A offen. Abgeschlossen ist A, weil das Komplement X\A = (2,4) offen ist, denn für jedes y aus (2,4) kann man eine Epsilon-Kugel um y finden, die vollständig in X\A liegt.

Zu $\begin{eqnarray*} B = (3,4) \end{eqnarray*}$ :

Das ganze Intervall besteht nur aus inneren Punkten, was bedeutet, dass alle Elemente aus B eine Epsilon-Kugel besitzen, die eine Teilmenge von B ist. Man kann glaube ich auch sagen: B ist Umgebung für alle $\begin{eqnarray*} x \in B \end{eqnarray*}$ . Deshalb ist B schonmal offen. Ist B auch abgeschlossen? Dann müsste das Komlement $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ \ $\begin{eqnarray*} B = [0,1] \cup (2,3] \end{eqnarray*}$ offen sein. Da hier die 3 allerdings ein Randpunkt ist, und somit keine Epsilon-Kugel um 3 existiert, die vollständig in X\B liegt, ist X\B nicht offen, sondern abgeschlossen. Somit kann B nicht abgeschlossen sein.

$\begin{eqnarray*} C = \{ \frac{1}{n}; n\in \mathbb N\} \end{eqnarray*}$ :

Die Folge $\begin{eqnarray*} xn:= \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen 0. Alle Folgenglieder sind Elemente von C - die 0 jedoch nicht. Deswegen ist C offen.
Kann man in dem Fall direkt folgern, dass C somit nicht abgeschlossen sein kann? Ein echter Beweis dazu fällt mir nicht ein, oder hab ich das mit der ersten Begündung (C ist offen) bereits getan?

$\begin{eqnarray*} D = C \cup \{0\} \end{eqnarray*}$ :

Weil D nun auch die 0 enthält, ist D abgeschlossen.
D ist aber auch offen, denn: Für alle Elemente von D, die auch Elemente von C sind, lässt sich wieder eine Epsilon-Kugel finden, welche wieder vollständig in D liegt.
( $\begin{eqnarray*} Espilon := \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ )
Die 0 besitzt auch eine Espilon-Kugel in D, da wieder links der 0 gar nichts existiert und die Kugel somit nur in den Bereich rechts der Null reicht, und deshalb, wenn sie einen genügend kleinen Radius hat, nur in D liegt.

$\begin{eqnarray*} E = X \end{eqnarray*}$ :

E besteht nur aus inneren Punkten, da das Komplement von E=X die leere Menge ist. Somit ist E offen.
Ist die leere Menge offen? Wenn ja, dann wäre E auch abgeschlossen.

So, ich glaube, ich hab es bis auf ein Paar Lücken verstanden. Wäre schön, wenn ihr mal über meine Erklärungen drüberschaut, und sagt, ob das so in Ordnung ist und meine letzten kleinen Fragen noch beantwortet.

Dankeschööön.

09.02.2009, 15:56

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Zitat:

Original von Max Simon
Schon, dass es diese 4 Möglichkeiten gibt, will ich nicht verstehen.

Das liegt daran, dass offen und abgeschlossen nicht gegenteilige Begriffe sind! Eine Menge, die nicht offen ist, muss nicht unbedingt abgeschlossen sein. Es gibt eben sowohl Mengen, die offen und abgeschlossen sind, als auch welche, die weder das eine noch das andere erfüllen. Und natürlich gibt es auch Mengen, die genau eine der beiden Eigenschaften erfüllen.

Zitat:

Original von Max Simon
Da hier die 3 allerdings ein Randpunkt ist, und somit keine Epsilon-Kugel um 3 existiert, die vollständig in X\B liegt, ist X\B nicht offen, sondern abgeschlossen.

Hier tritt dieser Fehler schon auf. Nur weil $\begin{eqnarray*} X\setminus B \end{eqnarray*}$ nicht offen ist, muss es noch nicht abgeschlossen sein! Du hast Glück, dass das hier doch stimmt, aber du solltest dich unbedingt daran gewöhnen, dass das keine gegenteiligen Eigenschaften sind! Die Begründung dafür, dass $\begin{eqnarray*} X\setminus B \end{eqnarray*}$ nicht offen ist, ist aber korrekt. Freude

Zitat:

Original von Max Simon
$\begin{eqnarray*} C = \{ \frac{1}{n}; n\in \mathbb N\} \end{eqnarray*}$ :

Die Folge $\begin{eqnarray*} xn:= \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen 0. Alle Folgenglieder sind Elemente von C - die 0 jedoch nicht. Deswegen ist C offen.

Nein, das ist absolut falsch! Du hast doch nur gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ nicht abgeschlossen ist. Um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ offen ist, musst du doch etwas ganz anderes zeigen, nämlich das, was in der Definition von Offenheit steht. Und wenn du dir das mal anguckst, dann wirst du hoffentlich auch sehen, dass $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ auch nicht offen ist. $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ ist also weder offen noch abgeschlossen. Übrigens hast du doch bei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ schon gesehen, dass Offenheit und Abgeschlossenheit sich nicht gegenseitig ausschließen, denn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ hast du ja sowohl als offen als auch als abgeschlossen erkannt.

Zitat:

Original von Max Simon
D ist aber auch offen, denn: Für alle Elemente von D, die auch Elemente von C sind, lässt sich wieder eine Epsilon-Kugel finden, welche wieder vollständig in D liegt.
( $\begin{eqnarray*} Espilon := \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ )

Dass $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist, stimmt, sollte aber mit der Definition genauer begründet werden. Dass $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ offen ist, ist falsch. Deine Begründung ist leider auch totaler Mist. Was für eine Kugel findest du z.B. für den Punkt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , die immer noch in $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ enthalten ist? Sowas wirst du ganz bestimmt nicht finden, das siehst du ja schon, wenn du dir $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ auf der Zahlengerade aufmalst bzw. vorstellst.

Zitat:

Original von Max Simon
E besteht nur aus inneren Punkten, da das Komplement von E=X die leere Menge ist. Somit ist E offen.

Die Behauptung ist richtig, aber warum besteht $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ nur aus inneren Punkten? Deine Begründung verschließt sich mir noch.

Zitat:

Original von Max Simon
Ist die leere Menge offen? Wenn ja, dann wäre E auch abgeschlossen.

Ja, die leere Menge ist offen. Das siehst du direkt, wenn du die Definition der Offenheit auf die leere Menge anwendest.

09.02.2009, 17:02

Max Simon

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich glaube, ich schreibe erstmal die Definitionen für offen und abgeschlossen hin - vielleicht hab ich hier schon Gedankenfehler:

1) Offen ist eine Teilmenge A, wenn es für alle x aus A ein Epsilon>0 gibt, so dass die Kugel B[x, epsilon] eine Teilmenge von A ist.
2) Eine Teilmenge A ist offen, wenn sie nur aus inneren Punkten besteht.
3) Eine Teilmenge A ist offen, wenn es eine Folge (an) gibt, deren Folgenglieder alle Elemente von A sind, und die gegen ein a konvergiert, welches kein Element von A ist. Erstaunt2

4) Eine Teilmenge A ist offen, wenn das Komplement X\A abgeschlossen ist.

i) Eine Teilmenge B ist abgeschlossen, wenn alle konvergenten Folgen in B gegen einen Grenzwert aus B konvergieren.
ii) Eine Teilmenge B ist abgeschlossen, wenn das Komplement X\B offen ist.

Zu B:

Ich hab ja gezeigt, dass X\B nicht offen ist. Das heißt also nicht, dass X\B abgeschlossen ist. Aber es bedeutet doch, dass B nicht abgeschlossen ist, oder?

Bei C und D hab ich den selben Fehler gemacht. Ich dachte, dass alle Punkte innere Punkte sind. Das ist totaler Quatsch, weil man zu keinem Punkt eine Epsilon-Kugel findet, die nur Elemente von C bzw. D enthält und damit Teilmenge ist. Jeder Punkt ist ein isolierter Punkt in C bzw. D. Somit ist sowohl C und auch D nicht offen. C ist wie oben gezeigt auch nicht abgeschlossen, dafür aber D.

E besteht nur aus inneren Punkten, da jeder Punkt eine Epsilon-Kugel hat. Für die Punkte (0,1) und (2,4) ist das klar und wie oben geschrieben, sind auch die Punkte 0 und 1 innere Punkte.
E ist also offen und abgeschlossen, weil die leere Menge offen ist.

Ich hoffe, nun stimmt alles.

Noch eine Frage zur leeren Menge: Sie ist offen, weil sie keine Elemente besitzt und damit jedes Element eine entsprechende Epsilon-Kugel hat. (Die Implikation aus nicht p folgt q).
Dann ist sie doch aber auch abgeschlossen, denn jede Folge in der leeren Menge konvergiert doch auch gegen einen Wert aus dieser Menge. Oder sagt man hier, dass kein Grenzwert existiert und deswegen keine Folge konvergiert und die Menge somit nicht abgeschlossen ist?

09.02.2009, 17:43

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Max Simon
3) Eine Teilmenge A ist offen, wenn es eine Folge (an) gibt, deren Folgenglieder alle Elemente von A sind, und die gegen ein a konvergiert, welches kein Element von A ist. Erstaunt2

Das klappt nicht, weil der gesamte Raum immer offen ist und es dort ein solches a nie gäbe.

Zitat:

Noch eine Frage zur leeren Menge: Sie ist offen, weil sie keine Elemente besitzt und damit jedes Element eine entsprechende Epsilon-Kugel hat. (Die Implikation aus nicht p folgt q).
Dann ist sie doch aber auch abgeschlossen, denn jede Folge in der leeren Menge konvergiert doch auch gegen einen Wert aus dieser Menge. Oder sagt man hier, dass kein Grenzwert existiert und deswegen keine Folge konvergiert und die Menge somit nicht abgeschlossen ist?

Die leere Menge und der gesamte Raum sind immer sowohl offen als auch abgeschlossen.

Grüße Abakus smile

09.02.2009, 17:57

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Max Simon
3) Eine Teilmenge A ist offen, wenn es eine Folge (an) gibt, deren Folgenglieder alle Elemente von A sind, und die gegen ein a konvergiert, welches kein Element von A ist.

Diese Beschreibung ist absoluter Mist, du solltest sie dir also aus dem Kopf schlagen. Das hat Abakus ja auch angedeutet. Diese Beschreibung hat nichts mit Offenheit zu tun! Sie ist nur äquivalent dazu, dass die Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nicht abgeschlossen ist (siehe deine Charakterisierung i) der Abgeschlossenheit).

Zitat:

Original von Max Simon
i) Eine Teilmenge B ist abgeschlossen, wenn alle konvergenten Folgen in B gegen einen Grenzwert aus B konvergieren.

Hier sollte man etwas genauer sein: $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ist abgeschlossen, wenn alle in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ konvergenten Folgen mit Gliedern in $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ auch gegen ein Element von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ konvergieren.

Zitat:

Original von Max Simon
Ich hab ja gezeigt, dass X\B nicht offen ist. Das heißt also nicht, dass X\B abgeschlossen ist.

Nein, das heißt es nicht! Nochmal: Wenn eine Menge nicht offen ist, dann muss sie nicht notwendigerweise abgeschlossen sein. Es gibt Mengen, die beides nicht erfüllen. $\begin{eqnarray*} X\setminus B \end{eqnarray*}$ nicht offen bedeutet nicht mehr und nicht weniger, als dass $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ selbst nicht abgeschlossen ist, wirklich sonst nichts weiter!

Der Rest ist korrekt. Deine Begründung für die Offenheit der leeren Menge ist auch korrekt. Die Begründung für die Abgeschlossenheit ist die gleiche: Es gibt einfach keine Folge mit Elementen aus der leeren Menge, deswegen erfüllen alle solche Folgen auch jede (beliebige) Eigenschaft.

09.02.2009, 21:15

Max Simon

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube ich habs verstanden. Mein Hauptproblem lag wirklich darin, dass ich davon ausgegangen bin, dass eine nicht-offene Menge abgeschlossen ist.

Vielen Dank euch beiden!

Neue Frage »

Antworten »

Offene/ abgeschlossene Mengen in einem metrischen Raum

Verwandte Themen