Partialbruchzerlegung

08.02.2009, 18:43

Mathethe

Partialbruchzerlegung

Hi, hab mal folgende Frage und gleich meinen Ansatz. Wollte Fragen, ob der prinzipiell richtig ist, weil ich damit auf kein Ergebnis komme:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x^2+2x+4}{(x+1)^2(x^2+1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2} + \frac{C}{(x^2+1)} \end{eqnarray*}$

Also mein Denken dahinter: Ich kann ja nicht als Zerlegungsfaktoren (Ax+B) und (Cx+d) nehmen, weil es sind ja nur 3 Variablen im Zähler. Also habe ih einfach A+B+C genommen. Ja, aber irgendwie komme ich dann in schwirigkeiten, weil dann Ax^3 rauskommt und auf der anderen Seite habe ich ja nur 2x^2 ... ?????Da kommt dann wegen 0x^3=x^3 A=0 raus .... und dann wirds voll falsch, habs auch schon nachgerechnet. Total der Schrott, was ich rausbekomme.

Bin jetzt auch nciht so der Fortgeschrittene, hab heute das erste mal davon gehört, obwohl ich studiere Big Laugh

08.02.2009, 18:46

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Der richtige Ansatz lautet

$\begin{eqnarray*} \frac{0x^3 + 2x^2+2x+4}{(x+1)^2(x^2+1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2} + \frac{Cx+D}{(x^2+1)} \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} 0x^3 \end{eqnarray*}$ im linken Zähler dient eigentlich nur dazu, dir die Augen zu öffnen...

08.02.2009, 18:55

Mathethe

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Achh, das ist ja cool, danke ....

Aber sieht man das schon im Voraus, oder kommt man erst drauf, wenn man rechnet? Und wenn ja, wie sieht man das dann?? gibts nen Trick?

08.02.2009, 18:57

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Der Nennergrad $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ bestimmt die Anzahl der Koeffizienten - im vorliegenden Fall genau 4.

Da ist es völlig egal, wenn der Zählergrad nicht $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ , sondern noch kleiner ist, es sind trotzdem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Koeffizienten im Ansatz zu bestimmen.

08.02.2009, 19:28

Mathethe

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Danke, hast mir schon sehr weitergeholfen, aber es hapert noch...habs mal ausgerechnet ....

$\begin{eqnarray*} 2x^2+2x+4=A(x+1)^2(x^2+1)+B(x+1)(x^2+1)+(Cx+D)(x+1)^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x^2+2x+4=A(x^4+2x^3+2x^2+2x+1)+B(x^3+x^2+x+1)+C(x^4+3x^3+3x^2+x)+<br /> D(x^3+3x^2+3x+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^4(A+C)+x^3(2A+B+3C+D)+x^2(2A+B+3C+3D)+x(2A+B+C+3D)+A+B+D \end{eqnarray*}$

Gleichungssystem:

0=A+C
0=2A+B+3C+D
2=2A+B+3C+3D
2=2A+B+C+3D
4=A+B+D

Und das geht bei mir nciht auf!!!!! Bitte, findet den Fehler^^

08.02.2009, 19:51

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathethe
$\begin{eqnarray*} 2x^2+2x+4=A(x+1)^2(x^2+1)+B(x+1)(x^2+1)+(Cx+D)(x+1)^3 \end{eqnarray*}$

Diese Zeile stimmt nicht. Schau dir das nochmal genau an.

08.02.2009, 23:44

Mathethe

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Man, das ist ja so ne ******
gibts nich nen Progrmm, was mir das berechnet?? ich mach andauernd anscheinend welche Fehler ... und es dauert schon so Stunden, ohne, dass ich mir die Mühe mache, es hier säuberlich im Code aufzuschreiben...

09.02.2009, 08:40

klarsoweit

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Hast du denn jetzt deinen Fehler gefunden und korrigiert oder wie ist die Lage?

09.02.2009, 16:57

Mathethe

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$\begin{eqnarray*} (2x^2+2x+4)(x+1)=A(x+1)^2(x^2+1)+B(x+1)(x^2+1)+(Cx+D)(x+1)^3 \end{eqnarray*}$
Und es kommt raus A=1, B=2, C=-1, D=1;

brauchst du noch die Ausführliche Rechnung? oder komsmt du auch drauf? :P^^

Jaaa, also gestern bin ich echt fast ausgerastet, weil ich das 4 mal hintereinander falsch gerechnet habe. Heute morgen gings gleich glatt.

Danke für die Hilfe!!! Ich denke, ich habs jetzt auch soweit gerafft das Thema.

09.02.2009, 17:01

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Zitat:

Original von Mathethe
$\begin{eqnarray*} (2x^2+2x+4)(x+1)=A(x+1)^2(x^2+1)+B(x+1)(x^2+1)+(Cx+D)(x+1)^3 \end{eqnarray*}$

Richtig ist der Ansatz, aber warum die hier bei jedem Summanden einen Faktor $\begin{eqnarray*} (x+1) \end{eqnarray*}$ zuviel aufgenommen hast, weißt nur du allein. Das einfachere

$\begin{eqnarray*} 2x^2+2x+4 = A(x+1)(x^2+1)+B(x^2+1)+(Cx+D)(x+1)^2 \end{eqnarray*}$

tut es jedenfalls auch, mit sicherlich weniger Rechnerei. Augenzwinkern

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