Eulersche Funktion

08.02.2009, 19:37

Bjoern1982

Eulersche Funktion

Hallo,

ich hänge mal die betroffene Aufgabe an, sie ist auf englisch - aber nicht sonderlich kompliziertes Englisch Augenzwinkern

Ich würde gerne wissen wie man den Beweis der Gleichung mathematisch korrekt aufschreiben kann, denn in meinen Augen genügen eigentlich 2 erklärende Sätze zu dem Sachverhalt und die Gleichung ergibt sich von selbst.

Sowas wie:
Für jedes nächst größere n x n Quadrat kommen immer aus symmetrischen Gründen immer $\begin{eqnarray*} 2\varphi(n+1) \end{eqnarray*}$ sichtbare Punkte hinzu, wobei der Summand 1 den Punkt (1|1) darstellt, bei dem logischerweise eine Verdopplung sinnlos wäre.

Ihr seht also selbst, dass die Gleichung verdammt simpel und intuitiv eh klar ist...nur mit dem "nonverbalen" Beweis tue ich mich schwer verwirrt

08.02.2009, 21:57

Mathespezialschüler

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Ein Beweis darf auch nonverbal sein, der muss (und soll auch gar) nicht immer nur aus mathematischen Zeichen bestehen. Dabei würde man wahrscheinlich sogar relativ wenig verstehen.

Falls du wirklich einen exakten Beweis führen willst, müsstest du wohl eine vollständige Induktion ansetzen.

08.02.2009, 22:12

Bjoern1982

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War auch ein Gedanke von mir es mit Induktion zu versuchen.
Im Endeffekt komme ich aber auch da nicht um ein paar erklärende Sätze (wie oben) herum oder ?

Ind. Anf.

S(1)=1 ---> klar

$\begin{eqnarray*} S(n+1)=1+2 \cdot \sum_{i=1}^{n+1}~\varphi(i)=1+2 \cdot \sum_{i=1}^{n}~\varphi(i)+[2 \cdot \varphi(n+1)]=S(n)+2 \cdot \varphi(n+1) \end{eqnarray*}$

Und der letzte Teil beschreibt genau das, was ich oben "verbal" beschrieben habe, nämlich das eben beim nächst größeren Quadrat zweimal die zu n+1 teilerfremden Zahlen in Form von sichbaren Punkten hinzukommen.

Ist das so in Ordnung oder fehlt noch etwas ?

08.02.2009, 22:42

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Na wenn's dir zu kurz ist, kannst du es ja verbal etwas aufpolstern, etwas so:

Zitat:

Es kommen hinzu die "horizontalen" Punkte $\begin{eqnarray*} (a,n+1) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1\leq a\leq n+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \operatorname{ggT}(a,n+1)=1 \end{eqnarray*}$ , das sind genau $\begin{eqnarray*} \varphi(n+1) \end{eqnarray*}$ .Außerdem kommen die vertikalen Punkte $\begin{eqnarray*} (n+1,b) \end{eqnarray*}$ ... (blablabla) ... ebenfalls $\begin{eqnarray*} \varphi(n+1) \end{eqnarray*}$ .

08.02.2009, 22:52

Bjoern1982

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Klingt gut smile

Ich hake nur deshalb nach, weil das eine Aufgabe von einem Vorbereitungsblatt für die anstehende Klausur ist und ich gerade in dieser Veranstaltung schon zweimal auf einem Übungszettel den Kommentar "mathematisch ?" stehen hatte, es den Korrektoren also zu "verbal" war...

Ich denke ich belasse es aber nun dabei und widme mich dann anderen Aufgaben.

Danke euch beiden Wink

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