Konvergenz gegen Minorante / Was zu Potenzreihen

08.02.2009, 20:26

axelt

Konvergenz gegen Minorante / Was zu Potenzreihen

So sorry das ich heute soviel Fragen hab aber die nächsten 3 Monate ist dann Ruhe :-p

1. Potenzreihen
Wir hatten leider nur sehr simple Beispiele zum Konvergenzradius, deshalb mal eins aus ner alten Klausur:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~n(z-i)^n \end{eqnarray*}$

Da habe ich dann Mit dem Wurzelkriterium $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{|a_n|}\rightarrow |z-i| \end{eqnarray*}$

Ist |z-i|<1 dann schon der Konvergenzradius oder kann man den noch irgendwie anders, "normal" angeben also |z|<R

2. "Konvergenz gegen Minorante"

Nehmen wir mal die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ und ich sollte entscheiden ob sie konvergiert oder divergiert. Für große n konvergieren die an ja gegen 1/n, was divergent ist. Nur kann man so etwas einfach sagen, also das die einzelnen Summanden gegen eine divergente Reihe konvergieren?

3. Abschätzung

Folgende Abschätzung sollte meiner Meinung nach richtig sein sicherheitshalber frag ich aber nochmal nach:

$\begin{eqnarray*} 2^n>n^a \end{eqnarray*}$ für genügend großes n

Alles klar dann nochmal abschließend vielen Dank für die Hilfe während des Semesters ;-)

08.02.2009, 20:55

Abakus

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RE: Konvergenz gegen Minorante / Was zu Potenzreihen

Zitat:

Original von axelt
1. Potenzreihen
Wir hatten leider nur sehr simple Beispiele zum Konvergenzradius, deshalb mal eins aus ner alten Klausur:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~n(z-i)^n \end{eqnarray*}$

Da habe ich dann Mit dem Wurzelkriterium $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{|a_n|}\rightarrow |z-i| \end{eqnarray*}$

Ist |z-i|<1 dann schon der Konvergenzradius oder kann man den noch irgendwie anders, "normal" angeben also |z|<R

Für den Konvergenzradius gibt es die Formeln von Hadamard (schau sie dir an). In diesem Fall ist R = 1.

Zitat:

2. "Konvergenz gegen Minorante"

Nehmen wir mal die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ und ich sollte entscheiden ob sie konvergiert oder divergiert. Für große n konvergieren die an ja gegen 1/n, was divergent ist. Nur kann man so etwas einfach sagen, also das die einzelnen Summanden gegen eine divergente Reihe konvergieren?

Sehr gut, dass du eine intuitive Vorstellung hast. Beweisen tut die jedoch nichts: schätze durch 1/(2n) nach unten ab.

Zitat:

3. Abschätzung

Folgende Abschätzung sollte meiner Meinung nach richtig sein sicherheitshalber frag ich aber nochmal nach:

$\begin{eqnarray*} 2^n>n^a \end{eqnarray*}$ für genügend große n

Für welche n und $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ genau? Im Prinzip wächst eine Exponentialfunktion schneller als jede Potenz für "große" Argumente, ja.

Grüße Abakus smile

08.02.2009, 21:15

axelt

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a>0, n natürliche Zahlen, war ebend auf Reihen / Folgen bezogen hatte mir das eigentlich wie folgt überlegt:

$\begin{eqnarray*} 2^n>n^a \Rightarrow 2>\underbrace{\sqrt[n]{n}\cdot ...\cdot\sqrt[n]{n}}_{a-mal}\underset{n\rightarrow \infty}{\Rightarrow} \end{eqnarray*}$ 2>1

08.02.2009, 21:43

Abakus

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Zitat:

Original von axelt
a>0, n natürliche Zahlen, war ebend auf Reihen / Folgen bezogen hatte mir das eigentlich wie folgt überlegt:

$\begin{eqnarray*} 2^n>n^a \Rightarrow 2>\underbrace{\sqrt[n]{n}\cdot ...\cdot\sqrt[n]{n}}_{a-mal}\underset{n\rightarrow \infty}{\Rightarrow} \end{eqnarray*}$ 2>1

OK, aber was nützt dir das? Du brauchst die umgekehrte Schlußrichtung.

Grüße Abakus smile

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