Extremwertaufgabe Jhg 12 LK

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Lille Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe Jhg 12 LK
Hallööchen...

Ich habe da ein Ziemliches Problem mit einer Aufgabe aus unsere Vorklausur...Ich kann mir absolut nicht vorstellen, wie das ganze aussehen soll, geschweige denn, wie ich das rechen soll...

Die Verbindungsgerade der Hochpunkte von f(x)= -x^4+18x² schneidet die y-Achse in C. Ein zur y-Achse symmetrisches Dreieck habe den einen Eckpunkt in C, die beiden anderen Eckpunkte A und B auf dem Graphen von f zwischen dessen Hochpunkten. Bestimme die Koordinaten von A und B, so dass der Flächeninhalt des Dreiecks ABC möglich groß wird.

Wie soll das denn bitte aussehen???Wäre echt super, wenn mir jemand helfen könnte Freude
zt Auf diesen Beitrag antworten »

Wo ist jetzt dein Problem genau?

Lille Auf diesen Beitrag antworten »

also ich hab versucht, da mal eine Zeichnung/Skizze anzufertigen, aber selbst das funktioniert nicht...
Ich weiß irgendwie nicht, was ich mir unter "die beiden anderen Eckpunkte A und B auf dem Graphen f zwischen dessen Hochpunkten" vorstellen soll verwirrt
zt Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab' jetzt oben 'ne Skizze eingefügt..
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

ich liefere dir schon mal das bildchen!



edit: zu lange gebraucht! traurig Big Laugh
zt Auf diesen Beitrag antworten »

ob doppelt wirklich besser hält? Augenzwinkern
edit: #late
 
 
Lille Auf diesen Beitrag antworten »

danke, jetzt weiß ich immerhin schon mal, wie es aussieht!!!
Als Zielfunktion würde ich A=1/2*g*h für den max. Flächeninhalt des Dreiecks nehmen
Aber was soll man denn als Nebenbedingung nehmen??Bis jetzt wars immer so, das wir als Nb eine Gleichung mit Ergebnis hatten...
zt Auf diesen Beitrag antworten »

Du denkst zu kompliziert. das Dreieck ist gleichseitig, da sym. zur Y-Achse.
Edit: Das ist natürlich Unsinn.
Lille Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt die Zielfunkton ist A= Wurzel(3)/4*a² ???
zt Auf diesen Beitrag antworten »

Ne, sorry, Ich hab' mich gerade noch korrigiert gehabt! traurig traurig

Deine Formel war schon ok. Ich meinte damit eigtl., dass du am besten nur ein Teildreieck maximierst, da du sonst mit der Betragsfunktion herumhantieren musst.
Lille Auf diesen Beitrag antworten »

Was bitte ist denn die Betragsfunktion.... unglücklich
Aber wie soll ich denn den Inahalt berechnen, weil ich hab doch überhaupt keine Angaben....

Ich glaub ich stell mich gerade wahnsinnig dumm an....tut mir leid
zt Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, kein Problem Augenzwinkern

Das Dreieck ist sym. zur Y-Achse. Deshalb reicht es aus, wenn du eines der beiden Teildreiecke maximierst.

Ein Teildreieck hat doch die Fläche
(Hauptbedingung)

kannst du ausdrücken durch und kannst du wiederum ausdrücken durch
(das sind deine Nebenbedingungen)

Diese Nebenbedingungen in die HB eingesetzt ergibt:


So, und jetzt brauchst du nur noch die Extrema von berechnen.
Lille Auf diesen Beitrag antworten »

und warum ist a=x und b =f(x) ???
zt Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab's jetzt noch 2 mal korrigiert, weil ich Gedanken schon bei meinem Steak war, dass gerade in der Pfanne brutzelt.

Verstehst du es jetzt?
Lille Auf diesen Beitrag antworten »

geschockt ich wollte dich nicht vom essen abhalten Prost

Also bis hierhin schon, aber wie soll ich davon denn eine Ableitung machen, um die Extrema zu berechen
zt Auf diesen Beitrag antworten »

Na, als erstes musst du natürlich die 2 Hochpunkte von

bestimmen! (einer reicht auch, da Achsensymmetrie vorliegt)
Lille Auf diesen Beitrag antworten »

also, ich habe da gestern noch eine weile dran gesessen und ich glaube ich habs teilweise verstanden...

1.) aus f(x)=-x^4+18x² kann man die Hochpunkte A(3|81) und B (-3|81) ausrechnen
2.) araus ergibt sich dann der y-Wert 81 für C und der x-Wert ist ja logischerweise --> C(0|81)
3.) das kann ich dann in die Gleichung A=1/2*g*h einsetzen und erhalte dann den Flächeninhalt

aber dann weiß ich mal wieder nicht weiter verwirrt
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

Wie würde denn dann deine Gleichung für A aussehen?

Gruß Björn
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Daß du jetzt die Hochpunkte mit A und B bezeichnest, ist etwas ungünstig, da das ja die Punkte des Dreiecks sind.

Wenn B auf dem Funktionsgraph über der positiven x-Achse liegt, dann hat dieser die Koordinaten B(b | f(b)). Wegen der Symmetrie reicht es aus, das Dreieck mit den Punkten (0 | f(b)), B und C zu betrachten. Welche Fläche hat dieses Dreieck?
Lille Auf diesen Beitrag antworten »

die Gleichung für A wäre A=x*(81+x^4+18x²) also x°5+18x²+81x
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast einen Vorzeichenfehler drin.
Schau nochmal genau nach (siehe Ausgangsfunktion f(x))

Wenn du das dann verbessert hast, kannst du deine Gleichung für A auch als Funktion von x, also A(x) auffassen.
Gefragt ist ja nun für welche Wahl von x der Flächeninhalt A maximal wird --> Extremwertproblem.

D.h. du musst diese Funktion jetzt eben nach Extremstellen untersuchen (wie bei einer Kurvendiskussion).

Gruß Björn
zt Auf diesen Beitrag antworten »

@ Lil

ist ein eigenständiges Polynom, deshalb musst du es beim Einsetzen auch in Klammern setzen.

Also: , womit sich alle Vorzeichen in der Klammer von umdrehen.

Mal abgesehen davon, hast du auch noch falsch ausmultipliziert.
laslup Auf diesen Beitrag antworten »
Ergebnisse
Hallo,

ich habe gerade diese Aufgabe bei meiner Suche nach Extremwertaufgaben zum Üben ausgewählt, hatte aber noch ein Problem.
Die ausgerechneten Extrema waren bei mir lokale Minima, es müssen aber natürlich Maxima sein.
Jetzt habe ich den Fehler gefunden und poste die Ergebnisse für alle, die wie ich die Aufgabe noch mal finden und die Lösung suchen.

Zielfunktion: A(x)=x*1/2*(81+x^4; -18x²)* 1/2x
A(x)= 40.5*x+0.5*x^5-9*x^3 = x^5-18x³+81x
A'(x)= 5x^4 - 54x²+81 (laut CAS wxmaxima korrekt)
A''(x)= 20x³ -108x (laut CAS wxmaxima korrekt)
Ergebnisse für A'(x)=0: -3; -3/sqrt(5); 3/sqrt(5); 3 (ebenfalls)

A'(3/sqrt(5))=A'(sqrt(1,8))=-212.52 => lok. Maximum
A(sqrt(1,8)) ~ 69,55 [FE]
f((-(sqrt(1,8))= 29,16
A(-(sqrt(1,8) / 29,16); B((sqrt(1,8) / 29,16); C (0/81) (Achsensymmetrie)
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