koeffizientenvergleich

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sally84 Auf diesen Beitrag antworten »
koeffizientenvergleich
Hallo
ich habe eine frage zum koeffizientenvergleich:

ich habe die 3 polynome


jetzt möchte ich durch einen koeffizientenvergleich die lineare unabhängigkeit zeigen

bisher habe ich die polynome erstmal umgeschrieben zu


weiter komme ich leider nicht, kann mir jemand das prinzip des koeffizientvergleichs an diesem beispiel erklären?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn eine Linearkombination der 3 Polynome erstellt wird, sieht diese so aus:



Bei Untersuchung auf lineare Ab-/Unabhängigkeit wird die Lösungsmenge des bei Nullsetzen der LK entstehenden lGS untersucht:



Somit:



Jetzt wird der Koeffizientenvergleich der linken mit der rechten Seite durchgeführt, rechts sind alle Koeffizienten 0:






--------------------------------------------------

Wenn dieses System nur die triviale Lösung (a,b,c = 0,0,0) besitzt, liegt lineare Unabhängikeit vor, andernfalls nicht.

mY+
sally84 Auf diesen Beitrag antworten »

müsste ich dann mit dem gauss dieses lgs lösen

?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist kein lGS, was du hier aufgeschrieben hast.
Die Matrix allein kannst du nur umformen, nicht lösen.
Für das Gleichungssystem fehlt die Spalte (mit den Nullen) auf der rechten Seite.

Tipp: Man kann die Determinate dieser Martrix untersuchen.

mY+
sally84 Auf diesen Beitrag antworten »

was würde mir die determinate helfen wenn ich sie berechne? ich habe füe die det 18 raus
 
 
sally84 Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe das lgs jetzt mal umgestellt auf



damit bekomme ich ja für x1, x2, x3 nur 0 raus und somit hätte ich eine linear unabhängige lösung aber das scheint falsch zu sein.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn das lGS nur ein einziges Lösungstripel hat, dann ist es ja dieses

(a; b; c) = (0; 0; 0)

wie man allein schon durch Einsetzen erkennen kann. Dies nennt man triviale Lösung und die gibt es bei dieser Art des lGS immer. Falls aber ausser der trivialen Lösung noch weitere (d.h. unendlich viele) Lösungen existieren, muss das lGS abhängig sein, also die Matrix bei entsprechender Umformung mindestens eine Nullzeile ergeben. In diesem Falle wäre der Wert der Determinante gleich Null (<-- lauter Nullen in einer Zeile).

In deinem Falle hat aber die Determinante den Wert 18, also nicht Null. Was kann daher über die Lösungsmenge und damit über die lineare Ab-/Unabhängigkeit ausgesagt werden?

mY+
sally84 Auf diesen Beitrag antworten »

also wenn die determinante 0 ist mus es mindestens eine nullzeile geben und das würde wiederrum bedeuten das das system linear abhängig ist.

und da die determinante hier 18 ist müsste das lgs linear unabhängig sein. Laut der lösung bilden die polynome aber keine basis, das heisst doch das sie linear abhängig sind wenn sie keine basis darstellen oder?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast anfangs nur nach dem Koeffizientenvergleich gefragt, aber den VR bzw. die komplette Aufgabe gar nicht angegeben.

Für eine Basis muss auch noch gelten, dass ein Erzeugendensystem vorliegt. Wie ist dieses definiert und trifft dies hier bei dieser Angabe zu?

mY+
sally84 Auf diesen Beitrag antworten »

ein erzeugendensystem liegt vor wenn man durch z.b die vektoren a, b, c jeden anderen vektor des raumes durch eine linearkombination darstellen kann
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Welcher Raum soll nun aufgespannt werden? Und kannst du verifizieren, ob die Bedingung für ein Erzeugendensystem nunmehr gilt oder nicht?

mY+
sally84 Auf diesen Beitrag antworten »

hm ne ich verstehe nicht ganz wie ich das machen müsste
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