Grenzwert einer Folge mit ln (x)

09.02.2009, 15:04	Sigil	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert einer Folge mit ln (x) Hallo, ich hab hier zwei Folgen, bei denen ich den Grenzwert bestimmen soll. Aber ich weiß nicht so recht wie. a) $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} xln (x) \end{eqnarray}$ Ich hab daraus mal gemacht: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} xln (x) = \lim_{x \to 0} f(x)g(x) \end{eqnarray}$ , wobei ich weiß, dass $\begin{eqnarray} f(x)=x \end{eqnarray}$ gegen 0 strebt und $\begin{eqnarray} g(x)=ln (x) \end{eqnarray}$ divergiert. Aber was heißt das jetzt für das Produkt der beiden Ausdrücke? Was ist denn "konvergent divergent"? b) $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} xln (x) \end{eqnarray}$ In diesem Fall streben $\begin{eqnarray} f(x)=x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g(x)=ln (x) \end{eqnarray*}$ beide gegen "plus unendlich". Deshalb denke ich mal, dass die Ausgangsfolge divergiert. Ich hab echt keine Idee, wie ich hier vorgehen soll. Kann man die Aufgaben irgendwie "rechnen"?
09.02.2009, 15:10	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der b) liegst du richtig: Beide divergieren bestimmt gegen (plus) unendlich. Zur a) Sagt dir die Regel von l'Hospital etwas? air
09.02.2009, 15:12	Sigil	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ich kenne l'Hospital, aber ich dachte, den darf ich nur anwenden, wenn die Folge ein Quotient ist?
09.02.2009, 15:13	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} ab = \frac{a}{\frac{1}{b}} \end{eqnarray}$ So hast du dann auch den unbestimmten Ausdruck, den du benötigst, um l'Hospital anwenden zu können. air
09.02.2009, 15:14	Sigil	Auf diesen Beitrag antworten »
Äh...ok...hihi... ich versuchs mal...Moment bitte...
09.02.2009, 15:22	Sigil	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} xln(x) = \lim_{x \to 0} \frac{x}{\frac{1}{ln(x)}} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ und das ist divergent. Richtig?
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09.02.2009, 15:25	Sigil	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach Quatsch...Moment nochmal...
09.02.2009, 15:30	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Etwas simpler wird es, wenn du die Faktoren "vertauschst": $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} x \ln x = \lim_{x \to 0} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} \end{eqnarray}$ Ist prinzipiell aber egal. air
09.02.2009, 15:35	Sigil	Auf diesen Beitrag antworten »
So, jetzt nochmal: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} xln(x) = \lim_{x \to 0} ln(x)x = \lim_{x \to 0} \frac{ln(x)}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^2}} = \lim_{x \to 0} (-x) = 0 \end{eqnarray}$ Jetzt müsste es aber stimmen. Und nun sieht man auch im Rahmen von Aufgabe b), dass für x gegen "unendlich" der Ausdruck divergiert
09.02.2009, 15:41	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Ergebnis passt Für die b) erlaubt diese Umformung und l'Hospital aber keinerlei Aussage, denn für b) darfst du l'Hospital gar nicht anwenden (dir fehlt der entspr. unbestimmte Ausdruck!). Das ist aber auch nicht nötig. Wenn beide Funktionen gegen +oo divergieren, so tut dies auch offensichtlich deren Produkt. air
09.02.2009, 15:45	Sigil	Auf diesen Beitrag antworten »
zu a): Ok. zu b): Ja, stimmt. L'Hospital geht ja nur, wenn die Terme in Zähler und Nenner beide gegen 0 oder beide gegen "unendlich" streben. ln(x) im Zähler strebt aber gegen "unendlich" und 1/x im Nenner gegen 0.

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