ungleichung

09.02.2009, 15:47

brot17

ungleichung

ich soll folgende ungleichung zeigen :

3Q $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ P^2<4Q

wobei :
Q:=ab+bc+ca
P:=a+b+c

hänge bei:

3ab+3bc+3ca $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc<4ab+4bc+4ca

was kann ich da jetz noch machen? oO

09.02.2009, 15:57

Zellerli

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Hey brot17, Willkommen

an Board!

Also die Mitte riecht nach binomischen Formeln.

Hast du ansonsten nichts gegeben? Was können a,b,c sein?

09.02.2009, 16:03

brot17

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danke

du hast recht, vielleicht sollte ich das dazu sagen ...
ich dachte ich bin einfach nur blind, aber möglich dass die zusatzinfo von nöten ist. a,b,c sind die seitenlängen eines dreiecks.
(und damit hätte ich wohl eher ins geometrie forum posten sollen ^^)

ich sehe nich wie ich die mitte weiter sinnvoll umformen kann, hm.

gruß

09.02.2009, 16:19

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$\begin{eqnarray*} P^2 < 4Q \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} (a+b+c)^2 < 4(ab+bc+ca) \end{eqnarray*}$ ist für beliebige $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ schlicht falsch, selbst wenn man es auf positive Werte einschränkt.

Geht es bei $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ möglicherweise um die Seiten eines Dreiecks, was du beiläufig VERGESSEN hast zu erwähnen??? Forum Kloppe

Wie auch immer, ich rate zur Vorsicht: Das riecht verdammt stark nach Wettbewerbsaufgabe, das sollte erstmal geklärt werden.

EDIT: Ach Ok, und ich habe vergessen, den letzten Beitrag zu lesen - dafür gibt's dann Haue für mich selbst. Hammer

09.02.2009, 16:20

Zellerli

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Das zensiere ich meine Aussage mal, bis das geklärt ist...

09.02.2009, 16:33

brot17

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keine wettbewerbsaufg. Augenzwinkern

ansonsten hattest du recht... was heisst das für mein a,b,c? positiv alleine scheints ja nicht zu sein.. oO

09.02.2009, 16:43

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Positive Zahlen $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ können genau dann Seitenlängen eines Dreiecks sein, wenn die Dreiecksungleichungen erfüllt sind. Und die brauchst du auch für $\begin{eqnarray*} P^2 < 4Q \end{eqnarray*}$ .

Für die linke Ungleichung $\begin{eqnarray*} 3Q \leq P^2 \end{eqnarray*}$ braucht man diese Info nicht, dieser Teil gilt sogar für beliebige reelle Zahlen.

Soweit kann ich die Tipps noch vertreten, selbst wenn es eine Wettbewerbsaufgabe ist - was ich immer noch stark vermute, wenngleich vielleicht nicht aus einem aktuellen Wettbewerb.

09.02.2009, 17:04

brot17

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a+b $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ c meint ihr, ja? (und die anderen analog)

(ps: ich weiss nicht ob es nicht irgendwann mal eine wettbewerbsaufg. war, aber naja ...)

09.02.2009, 17:08

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Zitat:

Original von brot17
a+b $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ c meint ihr, ja?

Sicher nicht.

09.02.2009, 17:10

brot17

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hm?

du bist ja hilfsbereit ...

09.02.2009, 17:14

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Mit "sicher nicht" meine ich genau das, was ich sage:

Gemäß Dreiecksungleichung gilt sicher nicht $\begin{eqnarray*} a+b \leq c \end{eqnarray*}$ , sondern das genaue Gegenteil:

$\begin{eqnarray*} a+b > c \end{eqnarray*}$

09.02.2009, 17:40

brot17

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jo, peace.

so rum natürlich... passiert ... (trotzdem muss ein $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ bei dir hin :P)

09.02.2009, 18:08

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Zitat:

Original von brot17
(trotzdem muss ein $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ bei dir hin :P)

Ein Besserwisser! Augenzwinkern

Nein, im echten Dreieck kann durchaus ein > hin, Gleichheit gilt nämlich allenfalls im "entarteten" Dreieck, was dann kein Dreieck mehr ist.

10.02.2009, 12:01

Zellerli

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Jaja... die Dreiecksungleichung stand in meinem selbst-zensierten Beitrag auch Augenzwinkern

10.02.2009, 16:10

yharzu

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man kann sich sogar in mathe immer rausreden .... , schlimm *g*

10.02.2009, 16:50

riwe

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Positive Zahlen $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ können genau dann Seitenlängen eines Dreiecks sein, wenn die Dreiecksungleichungen erfüllt sind. Und die brauchst du auch für $\begin{eqnarray*} P^2 < 4Q \end{eqnarray*}$ .

Für die linke Ungleichung $\begin{eqnarray*} 3Q \leq P^2 \end{eqnarray*}$ braucht man diese Info nicht, dieser Teil gilt sogar für beliebige reelle Zahlen.

Soweit kann ich die Tipps noch vertreten, selbst wenn es eine Wettbewerbsaufgabe ist - was ich immer noch stark vermute, wenngleich vielleicht nicht aus einem aktuellen Wettbewerb.

nennt sich aufgabe 63. "übungsaufgaben zur elementargeometrie" von prof. v. batyrev. was natürlich nicht unbedingt einen widerspruch darstellt.

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