Reihenwert mit pi^2

09.02.2009, 18:47	Otto's Mops	Auf diesen Beitrag antworten »
Reihenwert mit pi^2 Wir wissen, dass $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}. \end{eqnarray}$ Bewiesen werden soll $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3(n+1)^3}=10-\pi^2. \end{eqnarray}$ Kann man das denn überhaupt irgendwie mit Hilfe der ersten Gleichung folgern oder sind wer schon da komplett auf dem Holzweg?
09.02.2009, 19:55	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Mittels Partialbruchzerlegung folgt $\begin{eqnarray} \frac{1}{n^3 (n+1)^3} = \left( \frac{6}{n} - \frac{6}{n+1} \right) - \left( \frac{3}{n^2} - \frac{3}{(n+1)^2} \right) + \left( \frac{1}{n^3} - \frac{1}{(n+1)^3} \right) - \frac{6}{(n+1)^2} \end{eqnarray}$ Und hier bestimmen die drei Klammern Teleskopsummen. Komm, Mops, komm!
09.02.2009, 20:27	Otto's Mops	Auf diesen Beitrag antworten »
Ogottogott, die Partialbruchzerlegung wäre Ideenmäßig eigentlich in Reichweite gewesen... Otto's Mops kotzt Vielen Dank jedenfalls an Leopold!!!

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