Einige Fragen

09.02.2009, 19:31

energyfull

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Einige Fragen

hallo an alle, ich habe da einige fragen, bei denen ich nicht weiter komme:

1)stimmt es, das die potenzreihe $\begin{eqnarray*} \sum_{}~(-1)^k 2^{-k²}z^k \end{eqnarray*}$ den konvergenzradius $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ hat

und
2)wenn $\begin{eqnarray*} f:[0,1]->\mathbb R \end{eqnarray*}$ injektiv ist, dass dann $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ monoton ist

??

würde mich auf eure hilfe freuen

danke im voraus

09.02.2009, 19:34

sqrt4

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Bei 2) kannst du dir leicht ein Gegenbeispiel überlegen!

09.02.2009, 19:35

energyfull

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also heisst es dass die 2 stimmt oder wie?

wie kann ich denn ein gegenbeispiel dazu überlegen?

und was ist mit der 1)

09.02.2009, 19:37

sqrt4

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Zitat:

Original von energyfull
also heisst es dass die 2 stimmt oder wie?

Nein! Wenn du ein Gegenbeispiel findest, dann kanns ja wohl nicht richtig sein. Und wenn du etwas deine Fantasie walten lässt und Funktionen betrachtest die nicht stetig sind, dann findest du was.

09.02.2009, 19:38

energyfull

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asoo ok

kannst du mir auch bei der 1 helfen

09.02.2009, 19:41

sqrt4

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Ist dir zur 1) was eingefallen? Wie berechnest du den Konverngenzradius?

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09.02.2009, 19:45

energyfull

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also die formel lautet:

$\begin{eqnarray*} r=\lim_{n \to \infty } |\frac{a_n}{a_{n+1}} | \end{eqnarray*}$

die formel ist mir klar, aber ich habe probleme wo ich was einsetze, kannst du mir erklären wie ich das mache, und auf was ich da alles achten muss (da ich bald ne klausur darüber schreibe)

09.02.2009, 19:48

sqrt4

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Was ist denn $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ?

09.02.2009, 19:50

energyfull

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das ist doch eine folge oder nicht?

09.02.2009, 19:54

sqrt4

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Ja. Das sind einfach die Koeffizienten. Also ist hier $\begin{eqnarray*} a_n= \end{eqnarray*}$

09.02.2009, 20:00

energyfull

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$\begin{eqnarray*} a_n= \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (-1)^k 2^{-k²}z^k \end{eqnarray*}$

oder nicht?

09.02.2009, 20:09

sqrt4

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Falsch ist nicht richtig, auch wenns richtig falsch ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn dann hier $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ . Und ohne das $\begin{eqnarray*} z^k \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} (a_k)_{k \in \mathbb{N}} = (-1)^k2^{-k^2} \end{eqnarray*}$ ums ganz genau zu nehmen.

09.02.2009, 20:18

energyfull

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ja das meinte ich ja mit einsetzen mir ist das noch nicht so klar dann ist

$\begin{eqnarray*} a_{k+1} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (-1)^{k+1}2^{(-k+1)²} \end{eqnarray*}$

und r= lim $\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^k 2^{-k²}}{(-1)^{k+1}2^{(-k+1)²}} \end{eqnarray*}$

oder nicht?

09.02.2009, 20:22

sqrt4

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JA wenn du die Beträge noch mitnimmst, dann

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \frac{2^{-k^2}}{2^{-(k+1)^2}} \end{eqnarray*}$

Der Rest ist binom. Formel und kürzen bzw. erweitern und dann stehts da.

Edit: Nein bei dir war das Minus im Nenner an der falschen Stelle.

09.02.2009, 20:25

energyfull

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kannst du mir denn nochmal bitte dabei helfen, damit ich mir ein überblick habe wie das ganze geht, und ob der konvergenzradius wirklich +unendlich ist, das wäre super lieb

09.02.2009, 20:27

sqrt4

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Wenn ich jetzt superlieb bin, dann raffst dus wieder nicht. Nimm Stift und Zettel, schreib den Bruch hin und schreib das $\begin{eqnarray*} (k+1)^2 \end{eqnarray*}$ aus und erweiter dann entsprechend.

09.02.2009, 20:40

energyfull

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also:

$\begin{eqnarray*} lim \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{2^{-k²}}{2^{-k²-2k-1}} \end{eqnarray*}$

kann ich mit: $\begin{eqnarray*} 2^{k²+2k+1} \end{eqnarray*}$

erweitern?

dann würde das ja so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{2^{-k²}}{2^{-k²-2k-1}} \frac{2^{k²+2k+1}}{2^{k²+2k+1}} \end{eqnarray*}$

der konvergenzradius ist doch dann +unendlich

09.02.2009, 20:43

sqrt4

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Warum? Das kann man noch vereinfachen.

09.02.2009, 20:46

energyfull

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wenn ich das vereinfache kann ich das auch so aufschreiben:

$\begin{eqnarray*} \frac{4^{-k²-2k-1}}{4^{-k²-2k-1}} \end{eqnarray*}$

dann kann man doch 4 wegkürzen:

und es kommt 1 raus?

geht das denn so aus

09.02.2009, 20:49

sqrt4

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Hört sich 1 nach dem gewünschten Ergebnis an?
Beachte
$\begin{eqnarray*} a^x\cdot a^y=a^{x+y} \end{eqnarray*}$

09.02.2009, 20:54

energyfull

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hmm, nein

ok das hatte ich total vergessen:

also dann habe ich :

$\begin{eqnarray*} \frac{2^{2k+1}}{2} \end{eqnarray*}$

09.02.2009, 20:58

sqrt4

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Gut der Nenner wäre eigtl 1, da $\begin{eqnarray*} 2^0=1 \end{eqnarray*}$ , aber sonst stimmts.

Hast du jetzt schon ein Bsp für die 2) ?

09.02.2009, 21:02

energyfull

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also r=+ unendlich

danke ich habe es jetzt verstanden

ne leider noch nicht, aber das war nur eine allgemeine verständnis.

ich danke dir mehrmals für deine hilfe, hat mich weiter gebracht

09.02.2009, 23:57

energyfull

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ich habe noch eine kurze frage

und zwar wenn ich den kr von dieser PR ausrechnen will:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n}~n^{2008} \end{eqnarray*}$

gehe ich wie folgt vor mit der formel

und bekomme:

$\begin{eqnarray*} (\frac{n}{n+1})^{2008} \end{eqnarray*}$

man kann doch $\begin{eqnarray*} n^{2008} \end{eqnarray*}$ kürzen oder?

aber wie kommt man auf r=1

10.02.2009, 00:07

AD

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Zitat:

Original von energyfull
und zwar wenn ich den kr von dieser PR ausrechnen will:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n}~n^{2008} \end{eqnarray*}$

kr = Konvergenzradius?

PR = Potenzreihe?

Dieser Abkürzungsfimmel ist umso schwerer zu erkennen, weil $\begin{eqnarray*} \sum_{n}~n^{2008} \end{eqnarray*}$ gar keine Potenzreihe ist! unglücklich

unglücklich

Geht es womöglich um

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum_{n}~n^{2008}x^n \end{eqnarray*}$ ?

Durch soviel schlampigen Informationsverlust geht irgendwann die Redundanz verloren, das versprech ich dir.

10.02.2009, 00:13

energyfull

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Zitat:

Original von Arthur Dent

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum_{n}~n^{2008}x^n \end{eqnarray*}$ ?
.

ja genau, es geht um diese potenzreihe,

und die abkürzungen sind gleich was du geschrieben hast

pr=potenzreihe
kr=konvergenzradius

10.02.2009, 00:17

AD

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$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \left( \frac{n}{n+1} \right)^{2008} = \left( \lim\limits_{n\to\infty} \frac{n}{n+1} \right)^{2008} = 1^{2008} = 1 \end{eqnarray*}$

Das geht, weil der Exponent hier fest (im Sinne von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ unabhängig) ist.

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