Betrunkener mit n Schlüsseln

07.09.2006, 23:27

Fasching

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Betrunkener mit n Schlüsseln

Aufgabe 4.
Ein Betrunkener kommt im Dunkeln nach Hause. Die Haustür ist abgeschlossen und er hat n Schlüssel in der Tasche, von denen nur einer paßt. Er entnimmt seiner Tasche zufällig einen Schlüssel, probiert ihn, und falls er nicht paßt, legt er ihn beiseite.
Er probiert so lange, bis er den passenden Schlüssel gefunden hat. Die Zufallsvariable X beschreibe die Anzahl der zum Öffnen der Tür benötigten Versuche. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X.

Hm irgendwie steh ich bei der Aufgabe auf dem Schlauch und hab null Ahnung wie ich da Anfange ?

Die Wahrscheinlichkeit dass der Schlüssel passt ist ja $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Hatte die Aufgabe schonmal vor längerer Zeit überflogen und als Erwartungswert $\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{2} \end{eqnarray*}$ rausbekommen aber jetzt kann ich nicht mehr sehen wie ich darauf gekommen bin . Forum Kloppe

Forum Kloppe

07.09.2006, 23:32

Ben Sisko

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RE: Batrunkener mit n-Schlüsseln

Zitat:

Original von Fasching
Die Wahrscheinlichkeit dass der Schlüssel passt ist ja $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Und die Wahrscheinlichkeit, dass er nicht passt, ist $\begin{eqnarray*} \frac{n-1}{n} \end{eqnarray*}$ . Es gibt also zwei Möglichkeiten. Reicht das schon?

Edit: Ohohoh, Post ignorieren! Hier wollte ich auf's Falsche Pferd setzen. geschockt

geschockt

07.09.2006, 23:33

JochenX

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Die Wahrscheinlichkeit, dass er als erstes den richtigen Schlüssel hat ist 1/n.
Die Wahrscheinlichkeit, dass er gerade als zweites den richtigen Schlüssel hat ist 1/n.
Die Wahrsch...

Wie war das noch mit der Formel für den Erwartungswert? einfach einsetzen.

07.09.2006, 23:52

Fasching

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Also hier steh ich wohl grad total auf dem Schlauch ich mach erstmal die anderen Aufgaben vielleicht wirds dann hier klarer . Hammer

Hammer

07.09.2006, 23:55

Ben Sisko

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Zitat:

Original von LOED
Die Wahrscheinlichkeit, dass er gerade als zweites den richtigen Schlüssel hat ist 1/n.

Hier vielleicht etwas ausführlicher: Die ist $\begin{eqnarray*} \frac{n-1}{n} \cdot \frac{1}{n-1} \end{eqnarray*}$

08.09.2006, 00:11

Fasching

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Das hab ich schon kapiert und die Wahrscheinlichkeit dass er beim n-ten Schlüssel den richtigen hat ist

$\begin{eqnarray*} \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-2}{n-1}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot ... \cdot\frac{n-i}{n-i+1}\cdot \frac{1}{n-i}=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Das ist mir auch klar nur komm ich dann nicht weiter . Forum Kloppe

Forum Kloppe

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08.09.2006, 00:14

JochenX

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Zitat:

Original von Ben Sisko

Zitat:

Original von LOED
Die Wahrscheinlichkeit, dass er gerade als zweites den richtigen Schlüssel hat ist 1/n.

Hier vielleicht etwas ausführlicher: Die ist $\begin{eqnarray*} \frac{n-1}{n} \cdot \frac{1}{n-1} \end{eqnarray*}$

anders gesehen, NICHT als Produktexperiment - ordne die n Schlüssel in einer Reihe an, einfach die Reihenfolge, in der unser Saufbold die Schlüssel testet; dann ist jeder Schlüssel mit P=1/n richtig (also anders gesagt, P(einen Schlüssel nur testen müssen)=1/n, P(zwei Schlüssel....).

Natürlich kommt man auch auf deine Weise zum Ergebnis, Dennis, aber multiplizieren muss ich nicht. smile

smile

edit: du kommst nicht weiter? Einfach in die Erwartungswertformel EINSETZEN.

08.09.2006, 00:52

Fasching

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Kann sein dass ich jetzt völligen unsinn schreibe aber grad weis ich nicht mehr wo oben oder unten ist .

Meinst du die wenn ich es einsetze .

$\begin{eqnarray*} 1*\frac{1}{n}+2*\frac{1}{n}+3*\frac{1}{n}+...+n*\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

08.09.2006, 01:11

Ben Sisko

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Zitat:

Original von LOED
Natürlich kommt man auch auf deine Weise zum Ergebnis, Dennis, aber multiplizieren muss ich nicht. smile

smile

Ja, aber bei mir wird die Enttäuschung deutlicher, wenn man nen falschen Schlüssel erwischt Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Original von Fasching
Meinst du die wenn ich es einsetze .

$\begin{eqnarray*} 1*\frac{1}{n}+2*\frac{1}{n}+3*\frac{1}{n}+...+n*\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Ganz genau. Jetzt nur noch ausklammern, die Summenformel vom kleinen Gauß benutzen, kürzen, fertig.

08.09.2006, 08:48

PrototypeX29A

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Also wenn ich betrunken bin, gleicht das ganze bei mir eher einem ziehen mit zurücklegen, aber ich glaube dagegen verwehrt sich die Aufgabe smile

smile

08.09.2006, 13:08

Fasching

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Zitat:

Original von Ben Sisko

Zitat:

Original von LOED
Natürlich kommt man auch auf deine Weise zum Ergebnis, Dennis, aber multiplizieren muss ich nicht. smile

smile

Ja, aber bei mir wird die Enttäuschung deutlicher, wenn man nen falschen Schlüssel erwischt Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Original von Fasching
Meinst du die wenn ich es einsetze .

$\begin{eqnarray*} 1*\frac{1}{n}+2*\frac{1}{n}+3*\frac{1}{n}+...+n*\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Ganz genau. Jetzt nur noch ausklammern, die Summenformel vom kleinen Gauß benutzen, kürzen, fertig.

Ok dann bekomm ich auch wieder meine alten Ergebnisse raus danke . smile

smile

11.09.2006, 23:56

Fasching

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Ein weiteres Problem in meinen Aufzeichnungen hab ich für die Varianz folgendes Ergebnis .

$\begin{eqnarray*} \frac{n^2-1}{12} \end{eqnarray*}$

Nur komm ich auf was föllig anderes wenn ich es ausrechen .

$\begin{eqnarray*} Var[x]=Exp[x^2]-Exp[x]^2 \end{eqnarray*}$ das ist doch die Formel für die Varianz .

und
$\begin{eqnarray*} Exp[x]=\frac{n+1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Exp[x]^2=(\frac{n+1}{2})^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Exp[x^2]=\frac{1}{n^2}\cdot\frac{n\cdot(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Var[x]=\frac{1}{n^2}\cdot\frac{n\cdot(n+1)}{2}-(\frac{n+1}{2})^2 \end{eqnarray*}$

Und dann komm ich auf was völlig anderes ?

12.09.2006, 14:32

AD

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Zitat:

Original von Fasching
$\begin{eqnarray*} Exp[x^2]=\frac{1}{n^2}\cdot\frac{n\cdot(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

Nein, das ist falsch. Es ist $\begin{eqnarray*} E(X^2) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n ~ k^2 = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$ .

12.09.2006, 17:46

Fasching

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Ist das eine bestimmte Formel oder wie kommt man darauf ?

Jetzt passt auch wieder mein altes Ergebnis für die Varianz .

12.09.2006, 18:05

AD

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Es ist $\begin{eqnarray*} E(g(X))=\sum_x ~ g(x)\cdot P(X=x) \end{eqnarray*}$ für jede diskrete Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und jede Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ . Summiert wird natürlich über alle in Frage kommenden Werte $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , die $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ annehmen kann.

16.09.2006, 13:36

Fasching

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Das hab ich schon kapiert und hab jetzt auch gefunden dass das eine Potenzformel ist . Danke

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