Beweis

07.09.2006, 23:37

Fasching

Beweis

Sei X eine Zufallsvariable mit W_x Teilmenge von N_0 . Beweisen sie die folgende Formel zur Berechnung des Erwartungswertes von X

Exp [X] = $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^\infty~P[X\geq i] \end{eqnarray*}$

Hab da mal ein wenig rumprobiert und bin auf das gekommen .

Exp [X] = $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^\infty~P[X=i]=\sum_{i=1}^\infty~\sum_{j=1}^i~P[X=i]=\sum_{i=1}^\infty~\sum_{j=i}^\infty~P[X=j]=\sum_{i=1}^\infty~P[X\geq i] \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} \sum_{j=i}^\infty~P[X=j]=P[X\geq i] \end{eqnarray*}$

Stimmt das oder hab ich irgendwo einen Denkfehler ?

11.09.2006, 23:57

Fasching

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Hm keine Antwort ist auch ne Antwort ich geh mal davon aus dass der Beweis passt . Prost

12.09.2006, 14:24

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Zitat:

Original von Fasching
Exp [X] = $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^\infty~P[X=i]=\sum_{i=1}^\infty~\sum_{j=1}^i~P[X=i]=\sum_{i=1}^\infty~\sum_{j=i}^\infty~P[X=j]=\sum_{i=1}^\infty~P[X\geq i] \end{eqnarray*}$

In der ersten Summe fehlt ein Faktor $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ , sicher nur ein Schreibfehler:

Exp [X] = $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^\infty~i\cdot P[X=i]=\sum_{i=1}^\infty~\sum_{j=1}^i~P[X=i]=\sum_{i=1}^\infty~\sum_{j=i}^\infty~P[X=j]=\sum_{i=1}^\infty~P[X\geq i] \end{eqnarray*}$

Wer's zum ersten Mal sieht, für den ist der Übergang von der zweiten zur dritten Summe sicher gewöhnungsbedürftig, da du hier die Summationsreihenfolge vertauschst und gleichzeitig die Variablensymbole $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ miteinander vertauschst!

Der Übersichtlichkeit wegen würde ich das trennen, also:

$\begin{eqnarray*} E(X) = \sum_{i=1}^\infty~i\cdot P(X=i) = \sum_{i=1}^\infty ~ \sum_{j=1}^i ~ P(X=i) = \sum_{j=1}^\infty~\sum_{i=j}^\infty~P(X=i) = \sum_{j=1}^\infty ~ P(X\geq j) = \sum_{i=1}^\infty ~ P(X\geq i) \end{eqnarray*}$ ,

den Variablenwechsel von $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ also erst ganz zum Schluss.

12.09.2006, 17:45

Fasching

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Ok danke .

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