gesucht: nicht integrierbare fkt. mit zwischenwerteigenschaft

10.02.2009, 18:39

albertmai

gesucht: nicht integrierbare fkt. mit zwischenwerteigenschaft

hello,

gibt es funktionen, die nicht integrierbar sind, und dennoch über die zwischenwerteigenschaft verfügen?

(unter zwischenwerteigenschaft verstehe ich, dass für eine funktion $\begin{eqnarray*} f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(a)<f(b) \end{eqnarray*}$ gilt: zu jedem $\begin{eqnarray*} d\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} c\in [a,b] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(c)=d \end{eqnarray*}$ .)

es gibt einen satz über integrierbare funktion, der schon ziemlich viele mögliche funktionen ausschließt: besitzt eine beschränkte funktion nur abzählbar unendlich viele unstetigkeitsstellen, so ist sie integrierbar.

stetig darf die funktion ja auch nicht sein, da alle stetigen funktionen integrierbar sind. also brauchen wir eine funktion, die an überabzählbar unendlich vielen stellen unstetig ist, damit die möglichkeit besteht, dass sie integrierbar ist. zudem soll sie ja noch die zwischenwerteigenschaft erfüllen. hm, ziemlich tricky find ich. habt ihr ne idee oder gibt's sowas nicht?

übrigens: wenn ich von integrierbar spreche, meine ich riemann-integrierbar.

10.02.2009, 18:48

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: gesucht: nicht integrierbare fkt. mit zwischenwerteigenschaft
Soll das Beispiel beschränkt sein? Von was für einen Definitionsbereich gehst du aus?

Ansonsten: dein $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ soll zwischen $\begin{eqnarray*} f(a) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(b) \end{eqnarray*}$ liegen?

Grüße Abakus smile

10.02.2009, 19:25

albertmai

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: gesucht: nicht integrierbare fkt. mit zwischenwerteigenschaft
stimmt: für $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ gilt natürlich $\begin{eqnarray*} f(a)<d<f(b) \end{eqnarray*}$
ja, das beispiel soll beschränkt sein und mein definitionsbereich ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

hast du was parat?

10.02.2009, 19:28

Auf diesen Beitrag antworten »

Um welche (Nicht-)Integrierbarkeit soll es denn gehen: Riemann oder Lebesgue, oder noch was anderes? verwirrt

10.02.2009, 19:47

albertmai

Auf diesen Beitrag antworten »

es geht um die riemann integrierbarkeit. (steht auch in meinem ersten beitrag) Augenzwinkern

voraussetzung ist also, dass die funktion beschränkt ist und dass sie auf einem kompakten intervall betrachtet wird.

10.02.2009, 19:56

Auf diesen Beitrag antworten »

Na dann, sowas wie

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} x & \;\mbox{für}\; x\in\mathbb{Q}\\ -x & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Ok, die ist nicht beschränkt, aber dem lässt sich abhelfen: $\begin{eqnarray*} g(x) = \arctan(f(x)) \end{eqnarray*}$ oder ähnlich.

10.02.2009, 21:12

albertmai

Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe noch ein andere definition für die zwischenwerteigenschaft, von der ich dachte, dass sie äquivalent zu der eben gemachten ist:
Sei $\begin{eqnarray*} f:[a,b]\subseteq \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\, x,y\in [a,b]\, \text{mit}\, x<y\, \text{und}\, f(x)<f(y) \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ erfüllt genau dann die zwischenwerteigenschaft, wenn gilt $\begin{eqnarray*} [f(x),f(y)]\subseteq f([x,y]) \end{eqnarray*}$ .

wenn ich deine vorgeschlagene funktion (ohne den arctan) betrachte, dann würde sie diese zweite definition nicht erfüllen, denn wähle ich $\begin{eqnarray*} x=\frac{\pi}{6}\approx 0,52 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} f(x)=-\frac{\pi}{6} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(y)=\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ . es gilt aber nicht, dass $\begin{eqnarray*} [f(x),f(y)]\subseteq f([x,y]) \end{eqnarray*}$ .

danke arthur dent, denn du hast mir eine funktion geliefert, die nach meiner ersten definition die zwischenwerteigenschaft erfüllt und mich damit darauf aufmerksam gemacht, dass die erste und die zweite definition nicht äquivalent sind (korrigier mich, wenn ich falsch liege). gibt es denn auch eine funktion, die nach der zweiten definition nicht integrierbar ist, aber die zwischenwerteigenschaft erfüllt?

10.02.2009, 21:25

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von albertmai
ich habe noch ein andere definition für die zwischenwerteigenschaft, von der ich dachte, dass sie äquivalent zu der eben gemachten ist:
Sei $\begin{eqnarray*} f:[a,b]\subseteq \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\, x,y\in [a,b]\, \text{mit}\, x<y\, \text{und}\, f(x)<f(y) \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ erfüllt genau dann die zwischenwerteigenschaft, wenn gilt $\begin{eqnarray*} [f(x),f(y)]\subseteq f([x,y]) \end{eqnarray*}$ .

Die beiden Definitionen sind nicht äquivalent. Also werde dich mal einig, und ändere nicht laufend die Rahmenbedingungen. Forum Kloppe

10.02.2009, 21:32

albertmai

Auf diesen Beitrag antworten »

sorry, für den fehler, aber ich bin mir leider erst durch dein beispiel über den unterschied bewusst geworden.

vielleicht kannst du meine neue definition als eine neue herausforderung betrachten smile

25.02.2009, 18:18

albertmai

Auf diesen Beitrag antworten »

so, ich hab jetzt eine Funktion gefunden, die zwar die zwischenwerteigenschaft erfüllt, aber nicht integrierbar ist. sie lautet: $\begin{eqnarray*} f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x):=\begin{cases}\frac{1}{x} \sin \frac{1}{x} & \text{für $x=0$}\\0& \text{für $x=0$}\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

jetzt bin ich auf der SUche nach einer Funktion, die nicht integrierbar ist, aber von beschränkter Variation.
Beschränkte VAriation bedeutet, dass man eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:[a,b]\subset \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ auf einem beschränkten Intervall [a,b] betrachtet. Z ist dabei eine Zerlegung dieses Intervalls und alle $\begin{eqnarray*} t_j \end{eqnarray*}$ sind die Punkte, die diese Zerlegung festlegen.
Ist nun bei einer beliebigen Zerlegung Z das Supremum der Summe $\begin{eqnarray*} \mathrm{Var}\left(f;Z,[a,b]\right)=\sum\limits_{j=1}^{m}|f\left(t_j\right)-f\left(t_{j-1}\right)| \end{eqnarray*}$ eine endliche reelle Zahl, so ist f von beschränkter variation. Man könnte auch sagen, dass eine Funktion von beschränkter Variation ist, wenn sie nicht "zu stark" oszilliert.

falls euch die lösung nicht direkt einfällt, habt ihr auch ein paar nicht integrierbare funktionen parat (abgesehen von der dirichlet funktion?)

beste grüße

25.02.2009, 22:04

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von albertmai
so, ich hab jetzt eine Funktion gefunden, die zwar die zwischenwerteigenschaft erfüllt, aber nicht integrierbar ist. sie lautet: $\begin{eqnarray*} f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x):=\begin{cases}\frac{1}{x} \sin \frac{1}{x} & \text{für $x=0$}\\0& \text{für $x=0$}\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Die ist aber nicht beschränkt, was deine gesuchte Funktion aber sein sollte. D.h. dieses Beispiel kam eigentlich von vorne herein nicht in Frage.

Grüße Abakus smile

Neue Frage »

Antworten »

gesucht: nicht integrierbare fkt. mit zwischenwerteigenschaft

Verwandte Themen