Normaleneinheitsvektor ganz kurze Frage

10.02.2009, 20:06

Dima

Normaleneinheitsvektor ganz kurze Frage

Zur Berechnung des Abstands einer Geraden zum Ursprung braucht man den Normaleneinheitsvektor einer Geraden.

Wie bekomme ich den?

10.02.2009, 20:08

sulo

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RE: Normaleneinheitsvektor ganz kurze Frage
Im 3-dimensionalen Raum gar nicht Augenzwinkern

edit: Deshalb musst du mit einer Hilfsebene arbeiten, wenn Du im R3 bist.

edit2: Oder Du rechnest eine Formel mit dem Kreuzprodukt, das geht auch ...

Schreib doch mal konkret Deine Aufgabe.

10.02.2009, 20:26

Dima

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Aber es gibt doch diese Formel $\begin{eqnarray*} p=|Op*n0| \end{eqnarray*}$ für die Berechnung des Abstands von Gerade und Ursprung.
Also können wir die nicht ohne weiteres durchführen, weil wir vorher durch aufwendiges Verfahren den Normalenvektor der Geraden bestimmen müssten?
Wozu ist die Formel dann gut?

10.02.2009, 20:34

sulo

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Ähh, nochmal: in R3 gibt es keine Normale (bzw. unendlich viele, kann man sich doch leicht vorstellen ... Augenzwinkern

)

Die Formel stimmt schon.
n0 ist dabei der Richtungsvektor der Geraden (der allerdings ein Einheitsvektor sein muss) und kein Normalenvektor.

edit: Diese Formel meinte ich mit edit2

10.02.2009, 20:52

Dima

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Ja das stimmt: es gibt unendlich
Aber ja nur eine die durch den Ursprung geht, und diese ist ja in der Formel sicher gemeint.
Aber wie bekomme ich die in einem kurzen Verfahren

10.02.2009, 20:55

sulo

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Es hilft, meinen Betrag zu lesen Augenzwinkern

Zitat:

n0 ist dabei der Richtungsvektor der Geraden (der allerdings ein Einheitsvektor sein muss) und kein Normalenvektor.

Nenne doch mal Deine geheimnisvolle Gerade, dann kann ich das überprüfen, was Du rechnest (wenn Du willst ...)

10.02.2009, 21:05

Dima

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Verzeihung, habe nicht gründlich genug gelesen.
Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} s=(2,0,0,)+t(0,1,1) \end{eqnarray*}$ soll der Abstand zum Ursprung bestimmt werden.
Die Formel stand in der Formelsammlung.
Ich ging auch erstmal davon aus, dass der Richtungseinheitsvektor mit n0 gemeint ist.
Aber beim einsetzen in die Formel kam raus, dass der Abstand gleich 0 ist.( auch logisch , weil meine Wahl für OP der Stützvektor der Geraden war und der Skalarmultiplizeirt mit dem Richtungsvekror ergibt in diesem speziellen Fall 0 - denn alle Koordinaten werden zu 0)
Da aber die Gerade wie man gleich sieht nie den Ursprung schneidet, darf nicht Abstand gleich 0 herauskommen.

10.02.2009, 21:15

sulo

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Ok, dann setze ich das mal in die Formel ein:

$\begin{eqnarray*} d= [\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} ] \cdot \frac{1}{\sqrt{(0)^2+(1)^2+(1)^2}} \end{eqnarray*}$

10.02.2009, 21:18

Dima

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Und das Ergebnis ist doch 0

10.02.2009, 21:21

sulo

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Wie kommst Du da jetzt drauf? verwirrt

Ich habe ein anderes Ergebnis ...

Was hast du gerechnet?

10.02.2009, 21:24

Dima

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Skalarprodukt aus (2,0,0) und (0,1,1)
also: 2*0+0*1+0*1=0

10.02.2009, 21:30

sulo

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Nee, kein Skalarprodukt, Vektorprodukt (= Kreuzprodukt)

10.02.2009, 21:32

Dima

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Wieso das?
Bei mir in der Formelsammlung steht:
p=|OP*n0| und nicht Kreuzprodukt ist das ein Fehler der Formelsammlung?

10.02.2009, 21:36

sulo

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Tja, weiß ich auch nicht ....

Es gibt auch eine Formel mit dem Skalarprodukt, das ist die, die ich anfangs in edit1 meinte, da muss man eine Hilfsebene aufstellen.
Dann errechnet man einen Fußpunkt und dann den Abstand. Ist aber viel aufwändiger, meine ich.

10.02.2009, 21:53

Dima

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Aso stimmt,

aber ich glaube es reicht nicht wenn man nur

$\begin{eqnarray*} d= [\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} ] \cdot \frac{1}{\sqrt{(0)^2+(1)^2+(1)^2}} \end{eqnarray*}$

rechnet.
Denn nun haben wir ja die Länge des Normalenvektors, der auf der gedachten Ebene mit den Richtungsvektoren (2,0,0) und (0,1,1) steht
und dass der durch die Länge des Richtungsvektors geteilt den Abstand zur Gerade angibt,
ergibt sich mir nicht so.

Aber:
wenn wir das Kreuzprodukt aus (2,0,0) und (0,1,1) bestimmt haben, dann können wir das Ergebnis doch wieder zum Kreuzprodukt mit dem Stützvektor rechnen und das Erbegbis ist unser Normalenvektor unserer Geraden n0.

Wenn wir den haben können wir ja die erste Formel benutzen.

10.02.2009, 22:00

sulo

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Hmm, Du meinst, meine Formel reicht nicht verwirrt

Also, ich rechne das jetzt zu Ende, ich will nämlich auch off, und dann kannst Du ja sehen, wie es ging und ob Du es anders machen willst.

$\begin{eqnarray*} d= [\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} ] \cdot \frac{1}{\sqrt{(0)^2+(1)^2+(1)^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d= \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{(0)^2+(1)^2+(1)^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d=\sqrt{(\frac{0}{\sqrt2})^2+(\frac{-2}{\sqrt2})^2+(\frac{2}{\sqrt2})^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d=\sqrt{0+2+2} \end{eqnarray*}$ Und somit $\begin{eqnarray*} d=2 LE \end{eqnarray*}$

Ich sagte ja, dieser Weg ist recht fix ...
Würde mich interessieren, was Du bei Deiner Rechnung rausbekommst, wenn Du einen anderen Weg gehst Augenzwinkern

10.02.2009, 22:28

sulo

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Gut, ich gehe jetzt off.
Würde mich über einen Kommentar und ggf. einen anderen Rechenweg freuen.

Bis denn, cu, sulo Wink

10.02.2009, 22:30

Dima

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hahahaha da kommt auch 2 raus

ich habe dann also gerechnet
$\begin{eqnarray*} |(((2,0,0)x(0,1,1))x(0,1,1))*(2,0,0)| :|((2,0,0)x(0,1,1))x(0,1,1) \end{eqnarray*}$

das ist eigentlich nur $\begin{eqnarray*} n0*Stützvektor= die Länge \end{eqnarray*}$

heisst also dass dieses Verfahren so gekürzt werden kann , dass sich das auf die Formel
$\begin{eqnarray*} d= [\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} ] \cdot \frac{1}{\sqrt{(0)^2+(1)^2+(1)^2}} \end{eqnarray*}$
beschränken kann

10.02.2009, 22:32

sulo

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Hi, war grad noch on...

Jo, siehste Augenzwinkern

, denn ist ja alles klar . Bye Wink

10.02.2009, 22:34

Dima

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bye und danke nochmal

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