Konvergenznachweis einer Folge

10.02.2009, 23:03

Mathefragensteller

Konvergenznachweis einer Folge

Beispielaufgabe:

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n-1}{n+1} \end{eqnarray*}$

Die Behauptung sei: Grenzwert: $\begin{eqnarray*} a = 1 \end{eqnarray*}$

Nun muss ich mich an die Definition halten:

Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$

Dann ist zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} |x_n - a| < \epsilon \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq N \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Die Frage ist jetzt, wie ich mit dem Epsilon und dem N umgehe. Theoretisch müsste ich mir eine beliebige Epsilonumgebung aussuchen können. Wenn ich die Epsilon-Umgebung um den Grenzwert vergrößere, vergrößere ich aber auch N. Es muss aber sein: $\begin{eqnarray*} n \geq N \end{eqnarray*}$

10.02.2009, 23:05

Mathefragensteller

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Entschuldigt bitte, ich habe statt auf "Vorschau" auf "Antworten" geklickt. Ich war noch gar nicht fertig mit meinen Überlegungen. Die kommen in ein paar Minuten ...

10.02.2009, 23:14

tigerbine

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Musst du es so machen, oder könntest du auch den Bruch umschreiben und bekannte Grenzwerte benutzen?

Ansonsten

$\begin{eqnarray*} |\frac{n-1}{n+1} - 1| = |\frac{n-1-n-1}{n+1}| = |\frac{-2}{n+1}| < \varepsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{|-2|}{|n+1|} < \varepsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{n+1} < \varepsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\varepsilon} -1 <n \end{eqnarray*}$

10.02.2009, 23:17

Mathefragensteller

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Da also $\begin{eqnarray*} n \geq N \end{eqnarray*}$ sein muss und N von der jeweilig gewählten Epsilonumgebung abhängt, fehlt hier doch noch irgendetwas:

$\begin{eqnarray*} |\frac{n-1}{n+1} - 1| < \epsilon = \frac{2}{n+1} < \epsilon \end{eqnarray*}$

Irgendwie muss ich da doch noch das N in Abhängigkeit von Epsilon mit reinnehmen. Ist das beliebig wählbar?

10.02.2009, 23:26

Mathefragensteller

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Zitat:

Original von tigerbine
Musst du es so machen, oder könntest du auch den Bruch umschreiben und bekannte Grenzwerte benutzen?

Bitte mal ein Beispiel geben. Ich fange gerade erst an mit Analysis (1. Semester Physik). : ) Gedanklich kann ich dir, glaube ich, folgen. Du meinst, dass der Zähler gegen unendlich geht und der Nenner gegen unendlich geht und der Grenzwert daher 1 sein muss?

10.02.2009, 23:30

tigerbine

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Wie in der Schule

$\begin{eqnarray*} \frac{n-1}{n+1} = \frac{n(1-\frac{1}{n})}{n(1+\frac{1}{n})} = \frac{1-\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$

Und die 1/n gehen gegen 0

10.02.2009, 23:33

Mathefragensteller

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Zitat:

Original von tigerbine
Wie in der Schule

$\begin{eqnarray*} \frac{n-1}{n+1} = \frac{n(1-\frac{1}{n})}{n(1+\frac{1}{n})} = \frac{1-\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$

Und die 1/n gehen gegen 0

Ok, zwar schon länger her, aber ich erinnere mich. Da gab's doch auch noch eine tolle "h-Methode" bei der Vorgehensweise. Big Laugh

11.02.2009, 02:06

Jacques

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Hallo,

Zitat:

Original von Mathefragensteller

Da gab's doch auch noch eine tolle "h-Methode" bei der Vorgehensweise. Big Laugh

Das verwechselst Du mit dem Differentialquotienten in der Differentialrechnung.

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