Ungleichung für Dummies

11.02.2009, 15:38

tote mandarine

Ungleichung für Dummies

Hallo,
habe ein Problem mit dieser wahrscheinlich sehr einfachen Ungleichung.
$\begin{eqnarray*} \frac{x- 1}{\mid x-3 \mid } \leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Ich werde einfach nicht schlau daraus.
Ich weiss nur, dass ich zwei Fälle habe:
einmal X>0 und einmal X<0
Wie ist das mit der Mächtigkeit? gibt das nicht einfach nur 2?
Danke im Vorraus

11.02.2009, 15:51

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ungleichung für Dummies

Zitat:

Original von tote mandarine
Ich weiss nur, dass ich zwei Fälle habe:
einmal X>0 und einmal X<0

Nein das ist falsch. Du musst schauen, für welches x der Term im Betrag einen Vorzeichenwechsel macht.

11.02.2009, 16:01

tote mandarine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ungleichung für Dummies
Also $\begin{eqnarray*} \pm 3 \end{eqnarray*}$
oder wie?

11.02.2009, 16:04

tote mandarine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ungleichung für Dummies
Die Lösung ist dann also -1 und 3.
Kann ich das bei Beträgen immer so machen? Einfach auf Vorzeichenwechsel schauen?

11.02.2009, 16:11

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. $\begin{eqnarray*} x= 3 \end{eqnarray*}$ fällt ja sowieso raus.

Für $\begin{eqnarray*} x > 3 \end{eqnarray*}$ ist der Betrag > 0, für $\begin{eqnarray*} x < 3 \end{eqnarray*}$ ist der Betrag < 0.

Das heißt du hast nun 2 Fälle:

$\begin{eqnarray*} \frac{x- 1}{\mid x-3 \mid } \leq \frac{1}{2} = \begin{cases}\frac{x-1}{x-3} \leq \frac 1 2 & \text{für } x>3 \\ \\ \frac{x-1}{-x+3} \leq \frac 1 2 & \text{für } x<3 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Diese beiden musst du einzeln auflösen.

Es gibt keine "Lösungen -1 und 3", das musst du schon etwas präziser formulieren.

Im Grunde kann man das bei den meisten Betragsfunktionen machen, ja. Wenn du aber mehrere Beträge in einer (Un)-Gleichung hast, dann musst du schon etwas kombinieren.

11.02.2009, 16:24

tote mandarine

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich sie aber so auflöse bekomme ich jeweils -5 raus traurig

11.02.2009, 16:58

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldigung, ich habe vorhin einen kleinen Fehler gemacht, die Klammer lautet:

$\begin{eqnarray*} \frac{x- 1}{\mid x-3 \mid } \leq \frac{1}{2} = \begin{cases}\frac{x-1}{x-3} \leq \frac 1 2 & \text{für } x>3 \\ \\ \frac{x-1}{-x+3} \leq \frac 1 2 & \text{für } x<3 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Für x > 3:

$\begin{eqnarray*} \frac{x-1}{x-3} \leq \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-1 \leq \frac 1 2 (x-3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x-2 \leq x-3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-2 \leq -3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \leq -1 \end{eqnarray*}$

Da x > 3 ist, kann das nicht erfüllt werden.

Für x < 3:

$\begin{eqnarray*} \frac{x-1}{-x+3} \leq \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x-2 \leq -x+3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \leq \frac 5 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Die Ungleichung ist für $\begin{eqnarray*} x \leq \frac 5 3 \end{eqnarray*}$ wahr.

11.02.2009, 22:17

Daniel45b

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Q-fLaDeN
Ja. $\begin{eqnarray*} x= 3 \end{eqnarray*}$ fällt ja sowieso raus.

Für $\begin{eqnarray*} x > 3 \end{eqnarray*}$ ist der Betrag > 0, für $\begin{eqnarray*} x < 3 \end{eqnarray*}$ ist der Betrag < 0.

Das ist etwas sehr ... naja, holprig formuliert, weil der Betrag als etwas nicht-negatives definiert ist. Er ist immer positiv. $\begin{eqnarray*} | x | \ge 0 \end{eqnarray*}$ .

Es ist sogar falsch. Höchstens der Term innerhalb der Betragsstriche kann negativ sein.

11.02.2009, 22:30

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Das meine ich ja, sorry falls ich damit jemanden verwirrt habe.
Hier

Zitat:

Original von Q-fLaDeN
Du musst schauen, für welches x der Term im Betrag einen Vorzeichenwechsel macht.

hab ich es ja auch geschrieben.

Neue Frage »

Antworten »

Ungleichung für Dummies

Verwandte Themen